Почему силовая система Лоренца независима?

3-вектор силы Лоренца не зависит от системы отсчета только при преобразовании Галилея . Например, предположим, что вы переводите в новый кадр, движущийся со скоростью$\mathbf{V}_{o}$относительно исходного кадра, то преобразованные векторы будут:

$$\begin{align} \mathbf{E}' & = \mathbf{E} + \mathbf{V}_{o} \times \mathbf{B} \tag{0a} \\ \mathbf{B}' & = \mathbf{B} \tag{0b} \\ \mathbf{v}' & = \mathbf{v} - \mathbf{V}_{o} \tag{0c} \end{align}$$ Если мы затем поместим их в силу Лоренца, мы найдем: $$\begin{align} \mathbf{F}' & = q \left[ \mathbf{E}' + \mathbf{v}' \times \mathbf{B}' \right] \tag{1a} \\ & = q \left[ \left( \mathbf{E} + \mathbf{V}_{o} \times \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{v} - \mathbf{V}_{o} \right) \times \mathbf{B} \right] \tag{1b} \\ & = q \left[ \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right] \tag{1c} \end{align}$$

При правильном преобразовании Лоренца 3-вектор и 4-вектор силы Лоренца не являются независимыми от системы отсчета. Электрическое и магнитное поля (теперь в единицах СГС) 3-векторы преобразуются как:

$$\begin{align} \mathbf{E}' & = \gamma \left( \mathbf{E} + \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{B} \right) - \frac{ \gamma^{2} }{ \gamma + 1 } \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \left( \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \cdot \mathbf{E} \right) \tag{2a} \\ \mathbf{B}' & = \gamma \left( \mathbf{B} - \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{E} \right) - \frac{ \gamma^{2} }{ \gamma + 1 } \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \left( \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \cdot \mathbf{B} \right) \tag{2b} \end{align}$$ в то время как 3-векторная скорость преобразуется в соответствии с добавлением скоростей и$\gamma$есть фактор Лоренца . Можно видеть, что уравнения 2а и 2б сводятся к 0а и 0б в пределе$V_{o} \ll c$потому что$\gamma \rightarrow 1$и 2-й член в уравнениях 2a и 2b имеет 2-й порядок в$\tfrac{ V_{o} }{ c }$. $\tfrac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{E}$выпадает, когда вы конвертируете обратно в единицы СИ, потому что$B \rightarrow c \ B$таким образом, существует фактор$\tfrac{ V_{o} }{ c^{2} }$в этом термине.

Законы, управляющие электромагнитными явлениями, не инвариантны относительно преобразования Галилея , вместо этого они инвариантны относительно преобразования Лоренца .

Как только это будет установлено, мы сможем ответить на ваш вопрос: магнитные поля и электрические поля (а также магнитная сила и электрическая сила) действительно зависят от системы отсчета, если вы измените систему отсчета с помощью преобразования Лоренца . Однако комбинированный эффект электрического и магнитного полей (а также сила Лоренца) не зависит от системы отсчета при преобразовании Лоренца . Вот почему мы любим говорить об электромагнитных полях , а не об электрическом и магнитном полях по отдельности.

Теперь вопрос: почему мы используем преобразование Лоренца вместо стандартного преобразования Галилея? Что ж, как я упоминал выше, законы электромагнетизма не инвариантны относительно преобразования Галилея; это означает, что у нас возникнут проблемы, если мы не согласимся использовать преобразование Лоренца. Например : законы электромагнетизма предсказывают, что скорость света должна быть постоянной в каждой системе отсчета, но это очевидно абсурдно при преобразовании Галилея.