Вывод H=Bµ0−MH=Bµ0−M\mathbf H =\dfrac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M

с Рождеством всех пользователей!

я хочу добраться до$\mathbf H =\dfrac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M$из принципа суперпозиции, как это сделано в некоторых текстах по электростатике с$\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P$. В магнитостатическом я застрял.

Например, в электростатике по принципу суперпозиции потенциал вне поляризованного тела должен быть суммой потенциалов свободных и связанных зарядов. При применении градиента получается

$$\begin{array}{cl}\boldsymbol\nabla V=\boldsymbol\nabla V_\text{l}+\boldsymbol\nabla V_\text{p}&(1)\end{array}$$

Полное поле будет определяться полным электрическим потенциалом (опять же, ppio суперпозиции), так что$\mathbf E=-\boldsymbol\nabla V$. Если применить градиент (относительно координат$\mathbf r$) к

$$\begin{equation} V_\text{p}\left(\mathbf r\right)=k_e \displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime} \end{equation}$$

получим электрическое поле за счет поляризации:

$$\begin{array}{rcl}\boldsymbol\nabla V_p&=&\boldsymbol\nabla\left(k_e \displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\hat{\mathbf R}}{R^2}\mathrm{d}\tau^{\prime}\right)=k_e \displaystyle\int_V\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\underbrace{\boldsymbol\nabla\left(\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)}_{4\pi\delta^3\left(\mathbf R\right)}\mathrm{d}\tau^{\prime}\\&=&\underbrace{4\pi k_e }_{1/\epsilon_0}\displaystyle\int_V\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf r-\mathbf r^{\prime}\right)\mathrm{d}\tau^{\prime}=\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r\right)}{\epsilon_0}\end{array}$$

Замена в$(1)$и умножив уравнение на$\epsilon_0$Результаты

$$\begin{equation}\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P=-\epsilon_0\boldsymbol\nabla V_l\end{equation}$$

Элемент слева обычно обозначается аббревиатурой

$$\begin{equation}\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P\end{equation}$$ который мы назвали вектором смещения.

По магнитостатике я не видел в книгах, чтобы так делали, если не складывать токи намагничивания и свободные. Хотя это служит, я хотел бы сделать это по принципу суперпозиции, и я хотел бы сделать то же самое:

Начиная с

$$\begin{array}\mathbf A_\text{m}\left(\mathbf r\right)=k_m\displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime},&(2)\end{array}$$ по принципу суперпозиции векторный потенциал вне намагниченного тела должен быть суммой векторных потенциалов свободных токов и намагниченности. При применении завитка получаем $$\begin{array}{cl}\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{l}+\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}&(3)\end{array}$$

Полное магнитное поле будет результатом приложения ротора к полному векторному потенциалу (снова доп.), так что$\mathbf B=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A$. Если мы применим завиток (относительно координат$\mathbf r$) к$(2)$получим магнитное поле за счет намагничивания материала:

$$\begin{equation}\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}=\boldsymbol\nabla\wedge\left(k_m\displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime}\right)=k_m\displaystyle\int_V\boldsymbol\nabla\wedge\left(\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)\ \mathrm{d}\tau^{\prime}.\end{equation}$$ Расширение подынтегральной функции: $$\begin{equation}\boldsymbol\nabla\wedge\left(\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)=\underbrace{\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}}_{(\text{a})} -\underbrace{\left(\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\cdot\boldsymbol\nabla\right)\mathbf M}_{(\text{b})}+\underbrace{\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\left(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf M\right)}_{(\text{c})}-\underbrace{\mathbf M\left(\boldsymbol\nabla\cdot\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)}_{(\text{d})}\end{equation}$$

Все, что получается из векторной намагниченности, равно нулю, потому что зависит только от$\mathbf r^{\prime}$, так$(\text{b})$и$(\text{c})$отменены. Термин$(\text{d})$тот, который интересует:

$$\begin{equation}k_m\mathbf M\left(\boldsymbol\nabla\cdot\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)=4\pi k_m \mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf R\right)=\mu_0 \mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf R\right)\end{equation}$$

Я думал, что термин$(\text{a})$будет отменено, но это не дает мне null:

$$\begin{array}{rcl}\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^3M_i\frac{\partial }{\partial x_i}\displaystyle\sum_{j=1}^3\frac{R_j}{R^3}\mathbf e_j=\displaystyle\sum_{i,j=1}^3M_i\mathbf e_j\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{R_j}{R^3}\right)\\&=&\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}\left[R^3\frac{\partial R_j}{\partial x_i}-R_j\frac{\partial R^3}{\partial x_i}\right]\end{array}$$

Отдельно (с$\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r^\prime=R_1\hat{\mathbf e}_1+R_2\hat{\mathbf e}_2+R_3\hat{\mathbf e}_3$и$R_i=x_i-x_i^\prime$):

$$\begin{array}{rcl}\dfrac{\partial R_j}{\partial x_i}&=&\dfrac{\partial x_j}{\partial x_i}=\delta_{ij}\\\dfrac{\partial R^3}{\partial x_i}&=&\dfrac{\partial R^3}{\partial R}\dfrac{\partial R}{\partial x_i}=3R^2\cdot\dfrac{R_i}{R}=3RR_i\end{array}$$ Замена: $$\begin{array}{rcl}\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}&=&\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}\left[R^3\delta_{ij}-R_j3RR_i\right]=\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}R^3\delta_{ij}-\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}R_j3RR_i\\&=&\dfrac{1}{R^3}\displaystyle\sum_{i=1}^3M_i\mathbf e_i-\dfrac{3}{R^5}\displaystyle\sum_{i=1}^3M_iR_i\displaystyle\sum_{j=1}^3R_j\mathbf e_j=\dfrac{\mathbf M}{R^3}-\dfrac{3}{R^5}\left(\mathbf M\cdot\mathbf R\right)\mathbf R\\&=&\dfrac{1}{R^3}\left[\mathbf M-3\left(\mathbf M\cdot\hat{\mathbf R}\right)\hat{\mathbf R}\right]\end{array}$$

Подставляя выше и интегрируя (учитывая, что$\mathbf m=\int_V\mathbf M\ \mathrm{d}\tau^\prime$) я получаю:

$$\begin{equation}\mathbf B_\text{m}=-\dfrac{k_m}{R^3}\left[3\left(\mathbf m\cdot\hat{\mathbf R}\right)\hat{\mathbf R}-\mathbf m\right]-\mu_0\mathbf M \end{equation}$$ Первый член совпадает с магнитным полем магнитного диполя. Я не понимаю, почему это там, в электростатике у нас нет электрического поля электрического диполя.

Если$(\text{a})$был нулевым, последний интегрировал бы только термин$(\text{d})$и получить$\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}=-\mu_0\mathbf M\left(\mathbf r\right)$, поэтому подставляя на$(3)$было бы$\mathbf B+\mu_0\mathbf M=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{l}$. Но мне нужен минус, чтобы было$\mu_0\mathbf H$. Да, я определенно не в себе.

Ну, жизнь тяжелая, и я этого не понимаю, кто-нибудь видит неудачу?

PS: Кто это сделал, спасибо за чтение этого нудного выступления ;).