Типичное доказательство лоренцевского сжатия опирается на аксиому о том, что «скорость света постоянна», и выглядит следующим образом. Данный:

• Рамка$F_1$движется со скоростью$v$относительно кадра$F_0$. В кадре$F_1$сидят 2 параллельных зеркала.
• Расстояние между зеркалами измеряется как$l_0$в$F_1$(в состоянии покоя относительно зеркал).
• Расстояние между зеркалами измеряется как$l$в$F_0$(в то время как зеркала движутся мимо в$F_1$на скорости$v$).
• Время, за которое свет совершает «обход» между зеркалами, измеряется как$t_0$в$F_1$(в состоянии покоя относительно зеркал).
• Время, за которое свет совершает «обход» между зеркалами, измеряется как$t$в$F_0$(в то время как зеркала движутся мимо в$F_1$на скорости$v$).
• Уже доказано$t = \frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma t_0$(замедление времени).

«Обход» света, проходящего между зеркалами, занимает два пути; измеряется от$F_0$, эти поездки занимают время$t_1$и$t_2$. Во время этих рейсов корабль путешествует$vt_1$и$vt_2$, что означает путешествия света$l+vt_1$и$l-vt_2$когда свет движется в том же и противоположном направлениях, что и$F_1$соответственно, все измеряется в$F_0$. Постоянство скорости света дает:

• Поездка 1 (свет движется в том же направлении, что и$F_1$относительно$F_0$):$c = \frac{l + vt_1}{t_1}$ $\Rightarrow$ $t_1 = \frac{l}{c-v}$
• Поездка 2 (свет движется в противоположном направлении, как$F_1$относительно$F_0$):$c = \frac{l - vt_2}{t_2}$ $\Rightarrow$ $t_2 = \frac{l}{c+v}$
• Так,$\color{red}{t = t_1 + t_2 = \frac{l}{c-v} + \frac{l}{c+v} =\frac{2lc}{c^2-v^2}= \frac{2l/c}{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{2\gamma^2}{c} l}$.

Измерено в$F_1$, расстояние "туда-обратно" просто$2l_0$, и так$c=\frac{2l_0}{t_0} \Rightarrow t_0 = \frac{2l_0}{c}$.

В сочетании с замедлением времени получается$t=\gamma t_0 = \gamma\frac{2l_0}{c} = \frac{2\gamma}{c}l_0$.

Все это вместе дает

Вопрос:

Могу ли я сократить это доказательство, чтобы просто использовать «одно путешествие» между зеркалами вместо «туда и обратно»? Я пытался, и не могу! я$\color{red}{\text{have highlighted in red}}$часть доказательства, в которой путешествие туда и обратно дает хорошую отмену.

Что мне не хватает?

• Есть доказательства, основанные на аксиомах, отличных от «скорость света постоянна», но я ищу доказательство, которое просто опирается на это.

• Типичное доказательство замедления времени$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$включает в себя отражение света между двумя зеркалами, которые ПЕРПЕНДИКУЛЬНЫ движению системы отсчета. Я прошел через это доказательство, и оно абсолютно НЕ ломается, если рассматривать только одно путешествие между зеркалами. Доказательство в этом вопросе включает зеркала, разделенные расстоянием, ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ движению системы отсчета.

• Если «туда-обратно» непонятно, вот две анимации, каждая из которых изображает два «туда-обратно»:

Первое изображение, сделанное мной. Второе изображение из книги «Помогите мне получить интуитивное представление о лоренцевом сокращении» , которое проходит через то же самое доказательство, основанное на постоянной скорости света.

Доказательство, которое я видел для замедления времени, выглядит следующим образом, и, кажется, требует только одного путешествия светового луча:

Предположим, что пара зеркал разделена расстоянием$L$движется мимо на скорости$v$, так что смещение между зеркалами перпендикулярно движению зеркал. В системе отсчета зеркал свет, отражаясь между зеркалами, проходит расстояние$L$в$t_0$секунды на скорости$c=\frac{L}{t_0}$. В системе отсчета, относительно которой зеркала движутся со скоростью$v$, однако, свет, отражающийся между зеркалами, требует времени$t$сделать это и путешествовать$\sqrt{(vt)^2 + L^2}$. Так,$c = \frac{\sqrt{(vt)^2 + L^2}}{t}$а также потому, что скорость света постоянна для всех наблюдателей. Решение для$t$и подставляя$t_0=\frac{L}{c}$урожаи$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

Используемое изображение взято из того, что касается лазерного луча в движущейся системе отсчета, но с мячом.