Парадокс близнецов с использованием системы отсчета, следующей за кораблем

Возможно, будет полезнее взглянуть на все это на пространственно-временной диаграмме. у нас есть земная рамка с координатами$(t,x)$, а его траектория в пространстве-времени — синяя линия. Траектория космического корабля - красная.

Прямые мировые линии являются инерциальными системами отсчета, изогнутые или непрямые мировые линии являются неинерционными системами отсчета. Совершенно очевидно, что космический корабль является неинерциальной системой, так как он имеет кривую мировую линию, следовательно, невозможно найти инерционную систему, прикрепленную к кораблю, в которой он мог бы претендовать на состояние покоя на протяжении всего пути, как вы того хотели. решение быть.

Однако то, что вы рассмотрели в своих расчетах, является следующей идеей: во время дальнего путешествия корабль имеет инерциальную систему отсчета.$(t',x')$прикрепленный к ней, в точке разворота корабль переходит на другую инерциальную систему отсчета$(t'',x'')$который движется в обратном направлении с той же скоростью, что и при выезде.

Этот акт переключения инерциальных систем отсчета и есть ваш поворот назад. Теперь с тех пор$S'$и$S''$две инерциальные системы отсчета в относительном движении (они движутся навстречу друг другу), у них разные представления об одновременности. В точке поворота,$S'$утверждает, что события на его фиолетовой оси времени одновременны. После перехода на$S''$, вы переключаетесь на другую временную и пространственную оси, где события (или точки) на зеленой линии — это то, что является одновременным для$S''$. Из диаграммы очень ясно, почему этот акт переключения создает этот сдвиг во времени, который вас так озадачивает.

Таким образом, сдвиг во времени вызван переключением между двумя инерциальными системами отсчета в относительном движении. Когда вы переключаетесь между двумя разными осями времени (и пространственными осями, но это не наша забота здесь), это приводит к сдвигу земного времени в будущее.

Редактировать : я неправильно понял вопрос ОП. Он хотел спросить, как происходит сдвиг времени на земное время (то есть примерно$15$лет) больше, чем весь путь, который$10$годы. Что ж, хотя я не проверял ваши расчеты, вы, должно быть, сделали что-то не так. Это довольно просто, как рассчитать сдвиг во времени$t_\text{shift}$из диаграммы. Синяя мировая линия состоит из трех частей, первая часть находится перед пересечением фиолетовой линии с синей линией, которую я назову$\Delta t$, и сдвиг во времени$t_\text{shift}$, и последняя часть, которая находится после пересечения зеленой линии с синей линией, которую я называю$\Delta t$так как по симметрии диаграммы он равен первому временному интервалу.

Так что все время земного пути составляет:$t_\text{total}= \Delta t+ t_\text{shift}+ \Delta t=t_\text{shift}+2\Delta t$.

Так что:$t_\text{shift}=t_\text{total}-2\Delta t$.

$\Delta t$это просто время по земным часам, когда корабль достиг точки поворота (с точки зрения корабля), поэтому:$\Delta t= 2.53/\gamma=2.53/2=1.26$

Поэтому:$t_\text{shift}=10-2(1.26)=7.48$.

Таким образом, сдвиг во времени должен быть$7.48$предполагая, что все путешествие по земле$10$лет и что это занимает$2.53$лет на корабле, чтобы достичь поворотной точки. Повторите расчеты.

Дальнейшее редактирование: я собираюсь аналитически рассчитать сдвиг во времени.

Следует отметить, что в точке поворота космический корабль (претендующий на состояние покоя) будет иметь координаты$(t,x)=(2.53,0)$, Из-за замедления времени он будет утверждать, что$\dfrac{2.53}{2}=1.26$лет прошло по часам в земной оправе.

Однако это отличается от того, что будут показывать часы в земной оправе. Задача была поставлена ​​таким образом, чтобы координаты земли и космического корабля совпадали, т.е.$(t,x)=(t',x')=(0,0)$.

Так что, судя по космическому кораблю в точке разворота, земные часы будут показывать$1.26$лет, а его положение будет определяться$-2.2$световых лет. Однако из-за относительности одновременности, согласно системе координат корабля, часы в земной системе отсчета не синхронизированы, так что часы в земной системе координат, расположенной на Альфе Центавра, будут показывать$1.26+l_0v/c^2$лет, не$1.26$лет, где$l_0$длина покоя между землей и альфой.

Затем космический корабль переключается на другой кадр со скоростью$-0.87c$. Вы говорили о том, что такая рама будет двигаться с$0.99c$относительно старой космической рамы и будет иметь$\gamma=7.09$но это тут совершенно не при чем. Для расчетов важно то, что корабль только что переключился на другую систему координат, которая движется с$-0.87c$по отношению к земле, или, другими словами, претендует на состояние покоя, в то время как земля движется с$0.87c$по отношению к нему.

Ранее мы подсчитали, что часы на Альфе Центавра будут показывать$1.26+l_0v/c^2$, это все еще так и не изменилось. Однако из-за этого переключения кадров часы на Земле больше не будут читать$1.26$лет, он будет читать$1.26+l_0v/c^2+l_0v/c^2$лет, то есть время в альфа центурии$1.26+l_0v/c^2$плюс разница во времени$l_0v/c^2$в силу относительности одновременности.

Сдвиг во времени на земных часах — это разница между тем, что показывали часы, когда космический корабль двигался с$0.87c$а потом переключился на$-0.87c$, то есть$t_\text{shift}= 1.26+l_0v/c^2+l_0v/c^2 -1.26=2l_0v=2(4.39)(0.87)=7.6$лет, как было рассчитано ранее.

Ось одновременности, или, другими словами, совокупность одновременных событий, измеряемых в системе покоя корабля, действительно внезапно меняется, когда мы поворачиваемся назад. Это потому, что это зависит от вашей системы отсчета. Нет ни одной инерциальной системы отсчета, которая остается с кораблем на протяжении всего пути; вы можете либо признать, что кадр не инерциален, что значительно усложняет определение одновременности, либо вы можете переключать кадры в то же время, когда вы возвращаетесь назад. Но если вы переключаете кадры, меняется и ось одновременности, потому что это не реально: это зависит от вашего кадра.

С таким «парадоксом» лучше всего справиться, если вы забудете о попытках придать какой-либо смысл одновременности, потому что, как вы можете видеть, это сложное понятие. Лучше думать в терминах событий и пространственно-временных диаграмм. На самом деле, рисование диаграммы может помочь вам понять, почему одновременность внезапно меняется, когда вы поворачиваетесь назад.