Откуда берется дополнительная кинетическая энергия ракеты?

Вы заметили, что при высоких скоростях крошечное изменение скорости может вызвать огромное изменение кинетической энергии. А это значит, что тяга за счет сжигания топлива, по-видимому, способна дать сколь угодно большое количество энергии, возможно, превышающее химическую энергию самого топлива.

Решение состоит в том, что вся эта логика применима и к топливу! Когда топливо израсходовано, оно теряет большую часть своей скорости, поэтому кинетическая энергия топлива сильно уменьшается. Дополнительная кинетическая энергия ракеты возникает из-за этого дополнительного вклада, который может быть сколь угодно большим.

Разумеется, кинетическая энергия топлива не взялась из ниоткуда. Если вы не используете гравитационные колодцы, эта энергия исходила от топлива, которое вы сжигали ранее, которое использовалось для ускорения как ракеты, так и всего топлива внутри нее. Так что все работает — вы ничего не получаете бесплатно.

---

Для тех, кто хочет больше подробностей, это называется эффектом Оберта , и мы можем сделать быстрый расчет, чтобы подтвердить это. Предположим, что топливо выбрасывается из ракеты с относительной скоростью$u$, масса$m$топлива выбрасывается, а остальная часть ракеты имеет массу$M$. При сохранении количества движения скорость ракеты увеличится на$(m/M) u$.

Теперь предположим, что ракета изначально имеет скорость$v$. Изменение кинетической энергии топлива равно

$$\Delta K_{\text{fuel}} = \frac12 m (v-u)^2 - \frac12 mv^2 = \frac12 mu^2 - muv.$$ Изменение кинетической энергии ракеты равно $$\Delta K_{\text{rocket}} = \frac12 M \left(v + \frac{m}{M} u \right)^2 - \frac12 M v^2 = \frac12 \frac{m^2}{M} u^2 + muv.$$ Сумма этих двух должна быть полной выделившейся химической энергией, которая не должна зависеть от$v$. И действительно, доп.$muv$срок в$\Delta K_{\text{rocket}}$точно отменяется$-muv$срок в$\Delta K_{\text{fuel}}$.

---

Иногда эта задача ставится с автомобилем вместо ракеты. Чтобы понять этот случай, обратите внимание, что автомобили движутся только вперед из-за сил трения о землю; все, что делает автомобильный двигатель, это вращает колеса, чтобы создать эту силу трения. Другими словами, в то время как ракеты движутся вперед, толкая ракетное топливо назад, автомобили движутся вперед, толкая Землю назад.

В системе отсчета, где Земля изначально неподвижна, энергия, связанная с приданием Земле крошечной скорости, незначительна, потому что Земля тяжелая, а энергия имеет квадратичную скорость. Как только вы переключаетесь на кадр, в котором Земля движется, замедление Земли на ту же величину собирает огромное количество энергии, опять же, потому что скорость квадратична. Вот откуда берется дополнительная энергия автомобиля. Точнее, происходит тот же расчет, что и выше, но нам нужно заменить слово «топливо» на «Земля».

Вывод состоит в том, что кинетическая энергия различается между кадрами, изменения кинетической энергии различаются между кадрами, и даже направление передачи энергии различается между кадрами. Все это по-прежнему работает, но вы должны быть осторожны, чтобы включить все вклады в энергию.

Еще один гораздо более ясный способ увидеть эффект эффекта Оберта — добавить к уравнению потенциальную энергию .

Когда вы запускаете ракету внутри гравитационного колодца массивного тела, топливо оказывается на более низкой орбите, чем если бы вы запускали ракету вне гравитационного колодца.

Разница в потенциальной энергии топлива будет равна разнице в кинетической энергии вашего космического зонда.

Предположим, что ракета без топлива имеет вес$M$, топливо имеет вес$m$, а ракетный двигатель работает, мгновенно отправляя топливо назад со скоростью$v_e$относительно начальной скорости ракеты. Таким образом, при сохранении количества движения скорость ракеты увеличивается.

$$\Delta v_\text{rocket} = \frac{m}{M} v_e.$$

Прирост кинетической энергии в системе в системе отсчета COM равен

$$\Delta T = \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2 + \frac{1}{2} m v_e^2.$$ Это химическая энергия $E_\text{chemical}$высвобождается при сжигании топлива (при условии идеального КПД).

---

Что происходит, когда мы горим prograde , т.е. ускоряемся в направлении нашей скорости?

Предположим, что изначально в ракете находится топливо и они находятся на орбите с орбитальной энергией$E_0$, которая представляет собой сумму кинетической энергии и потенциальной энергии,

$$E_0 = T_0 + V_0 = \frac{1}{2} (M+m) v_0^2 - \frac{\gamma(M+m)}{r_0},$$ куда $v_0$- скорость ракеты до горения, $r_0$- расстояние ракеты до центра центрального тела до горения, а $\gamma$— гравитационный параметр центрального тела. В настоящее время $r_0$это параметр, который мы можем выбрать, выбрав, когда сжигать, $E_0$- константа, определяемая нашей начальной орбитой, и $v_0$тогда является функцией $E_0$и наш выбор $r_0$.

После горения скорость ракеты$v_0 + \Delta v_\text{rocket}$а орбитальная энергия ракеты

$$E_\text{rocket} = T_\text{rocket} + V_\text{rocket} = \frac{1}{2} M (v_0+\Delta v_\text{rocket})^2 - \frac{\gamma M}{r_0} = \frac{1}{2} M \left( v_0+\frac{m}{M} v_e \right)^2 - \frac{\gamma M}{r_0},$$ а скорость топлива $v_0 - v_e$а орбитальная энергия топлива $$E_\text{fuel} = T_\text{fuel} + V_\text{fuel} = \frac{1}{2} m (v_0- v_e)^2 - \frac{\gamma m}{r_0}.$$

Как вы видели, эффект Оберта заключается в том, что ракета заканчивается с большей кинетической энергией, если горение выполняется на более высокой скорости.$v_0$и меньше$r_0$(при сохранении$E_0$постоянный).

Полная потенциальная энергия остается прежней, но изменяется полная кинетическая энергия, что приводит к изменению полной энергии ракеты и топлива,

$$(E_\text{rocket} + E_\text{fuel}) - E_0 = (T_\text{rocket} + T_\text{fuel}) - T_0 = \frac{1}{2} \frac{m^2}{M} v_e^2 + \frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2 + \frac{1}{2} m v_e^2.$$ Это то же самое, где бы ни выполнялся ожог! Также это то же самое, что и в исходной системе отсчета ракетно-топливной системы, так что это химическая энергия. $E_\text{chemical}$используется при ожогах.

---

Теперь вопрос в том, как энергетический выигрыш ракеты зависит от выбора момента ее сжигания (т.е.$r_0$, предполагая$E_0$постоянно)?

Начальная скорость ракеты+топливная система,$v_0$получается с точки зрения$r_0$в качестве

$$v_0 = \sqrt{2 \frac{E_0}{M+m} + \frac{2\gamma}{r_0}}.$$

Прирост кинетической энергии ракеты (без учета топлива) при выходе из$v_0$к$v + \Delta v_\text{rocket}$является

$$\begin{align*} \Delta T_\text{rocket} &= \frac{1}{2} M ( v_0 + \Delta v_\text{rocket})^2 - \frac{1}{2} M v_0^2 = M v_0 \Delta v_\text{rocket} + \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2 \\ &= M \Delta v_\text{rocket} \sqrt{2 \frac{E_0}{M+m} + \frac{2\gamma}{r_0}} + \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2. \end{align*}$$ Эта формула немного сложна, но, как вы видели, выигрыш наибольший, когда $r_0$наименьшая, то есть когда гравитационная потенциальная энергия наименьшая. Потому что увеличение суммы кинетических энергий ракеты и топлива не зависит от $r_0$, математическое объяснение заключается в том, что выигрыш в энергии происходит из-за того, что кинетическая энергия топлива уменьшается больше : $$\Delta T_\text{fuel} = E_\text{chemical} - \Delta T_\text{rocket} = \frac{1}{2} m v_e^2 - M \Delta v_\text{rocket} \sqrt{2 \frac{E_0}{M+m} + \frac{2\gamma}{r_0}}.$$

Ключевым моментом этого вопроса является то, что интуитивно кажется, что сохранение энергии работает неправильно. Ракета приводится в действие химической реакцией, которая высвобождает химическую энергию с постоянной скоростью. Так как же постоянная скорость высвобождения энергии может привести к большему увеличению КЭ при быстром движении?

Чтобы понять это, полезно рассмотреть «игрушечную модель» ракеты, которая работает по тем же принципам, но ее легче анализировать. В частности, давайте рассмотрим шар массой 10 кг (ракета) и шар массой 1 кг (выхлоп), которые прикреплены к невесомой пружине (топливо).

Предположим, что у этой пружины достаточно запасенной энергии, чтобы, когда ракета изначально находилась в состоянии покоя, она могла разогнать ее до 1 м/с, а за счет сохранения импульса выхлоп разгоняется до -10 м/с. И наоборот, если ракета стартует со скоростью 5 м/с, то после «сгорания» топлива ракета разгоняется до 6 м/с, а выхлоп движется со скоростью -5 м/с.

Итак, теперь давайте проверим энергию. В первом случае КЭ ракеты увеличилась с 0 Дж до 5 Дж, а во втором – со 125 Дж до 180 Дж. В обоих случаях пружина запасает одинаковое количество энергии, так почему же КЭ увеличивается на 5 Дж на низкой скорости и на 55 Дж на высокой скорости?

Обратите внимание, что мы забыли рассчитать энергию, которая пошла на выхлоп. Это ключевая ошибка большинства подобных анализов. В первом случае КЭ выхлопа увеличилась с 0 Дж до 50 Дж, а во втором случае КЭ составила 12,5 Дж до и после. Так что в обоих случаях суммарное изменение КЭ (и ракеты, и выхлопа) составило 55 Дж.

На низких скоростях большая часть энергии топлива «тратится впустую» в КЕ выхлопа. На более высоких скоростях больше попадает в ракету и меньше в выхлоп. С настоящей ракетой постоянно происходит то же самое. И энергия, и импульс сохраняются, и фактически больше мощности передается транспортному средству по мере увеличения скорости при постоянной тяге.

Я видел, как этот сценарий всплывал в обсуждениях не раз (например, здесь , здесь и здесь ), поэтому я решил разместить это как пост. Если это слишком много для чтения, перейдите к разделу « Некоторые выводы » в конце.

Вопрос касается совместимости кинетической энергии и теории относительности Галилея. Как это возможно, что тот же импульс$u\rightarrow u+\Delta v$соответствует различному увеличению кинетической энергии для одного и того же наддува$\Delta v$при разных начальных скоростях$u$?

Есть несколько сценариев, похожих на один из опубликованных OP. Например, предположим, что человек находится на космическом корабле (в равномерном движении) и бросает мяч в прямом направлении космического корабля. Если бы мы рассматривали кадр, в котором космический корабль изначально неподвижен, то мяч двигался бы, скажем, со$10\text{ m/s}$. Но в кадре, где космический корабль движется вперед на$u = 100\text{ m/s}$, то мяч движется со$110\text{ m/s}$. $\Delta v = 10\text{ m/s}$соответствует различному увеличению кинетической энергии в двух сценариях.

Точно так же мы можем рассмотреть космический корабль, выпускающий выхлоп отдельными порциями (для упрощения задачи), что приводит к дискретным ускорениям. Повышение$0\text{ m/s}\rightarrow 100\text{ m/s}$соответствует другому увеличению KE, чем повышение$1000\text{ m/s}\rightarrow 1100\text{ m/s}$, хотя это точно такой же процесс.

В обоих этих сценариях используется некоторая начальная потенциальная энергия (химическая энергия человека или химическая энергия топлива космического корабля), которая преобразуется в кинетическую энергию, что приводит к изменению скорости объекта. В первом сценарии человек тратит некоторую энергию на бросок мяча. Во втором сценарии происходит взрыв, который толкает ракету вперед и выбрасывает выхлопные газы.

Я рассмотрю оба случая, проанализировав случай «пружинной пусковой установки», которая запускает коробку в каком-то направлении. Проблема идентична двум приведенным выше сценариям для всех намерений и целей здесь.

---

Ошибочный анализ

Мы можем рассмотреть случай, когда у нас есть «пружинная пусковая установка» с потенциальной энергией$U$который запускает ящик массы$m$. Ниже мы изображаем сценарий в кадре, где ящик изначально покоится. Во-первых, я приведу неправильный, наивный расчет, который многие люди склонны делать в этом мысленном эксперименте.

Предполагая, что масса пружины незначительна, наивный расчет с использованием закона сохранения энергии подразумевает$KE = U$и мы вынуждены сказать, что коробка запускается со скоростью$v = \sqrt{2U/m}$.

Теперь рассмотрим тот же сценарий, когда пружинный пусковой механизм и коробка изначально движутся со скоростью$u$. Опять же, я сделаю неправильный, наивный расчет, чтобы подчеркнуть путаницу, которая может возникнуть у людей.

Имеем увеличение кинетической энергии$\Delta KE = U$, так$KE_{\text{final}} = KE_{\text{initial}} + U$, так что

$$v' = \sqrt{ \frac{2U}{m} + u^{2} }.$$ Понятно, что у нас нет$v' = v + u$, что, кажется, наивно показывает, что пружина не является инвариантом Галилея. Немного по-другому, мы можем настаивать на том, чтобы ящик форсировался от$u$к$u+\Delta v$для того же$\Delta v$во всех кадрах, но тогда выигрыш в энергии был бы непостоянным. В любом случае, похоже, у нас есть проблема.

---

Правильный анализ

Проблема в приведенном выше анализе заключается в том, что мы не учитываем третий закон Ньютона. Стенка, к которой прикреплена пружина, сама имеет некоторую ненулевую и конечную массу, и по третьему закону Ньютона она будет отталкиваться. Правильный анализ должен был бы учитывать как запускаемый объект, так и отдачу на пусковую установку.

Предположим, имеется пружинная пусковая установка с начальной потенциальной энергией$U$который прикреплен к массе$m_{1}$который запускает массу$m_{2}$. Рассмотрим систему отсчета, в которой вся система изначально покоится.

Принимая во внимание как сохранение импульса, так и сохранение энергии, мы имеем

$$\begin{align} m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} &= 0, \\ \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} &= U. \end{align}$$ Решение для обоих и с учетом этой массы$m_{1}$толкается в$-x$-направление и масса$m_{2}$толкается в$+x$-направление, получаем $$\begin{align} v_{1} = -\left[ \frac{2U}{m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)} \right]^{1/2} \qquad\text{ and }\qquad v_{2} = \left[ \frac{2U}{m_{2}\left(1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}\right)} \right]^{1/2}. \end{align}$$

Теперь рассмотрим более общий случай, когда вся система изначально движется со скоростью$u$.

Принимая во внимание как сохранение импульса, так и сохранение энергии, мы имеем

$$\begin{align} m_{1}v_{1}' + m_{2}v_{2}' &= (m_{1} + m_{2})u, \\ \frac{1}{2}m_{1}v_{1}'^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2} &= U + \frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})u^{2}. \end{align}$$ Используя первое уравнение для записи$v_{2}'$с точки зрения$v_{1}'$и подставляя это во второе уравнение, мы получаем квадратное уравнение $$v_{1}'^{2} \left[ m_{1} + \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}} \right] - v_{1}' \left[ 2m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right) \right] + m_{2}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)^{2}u^{2} - (m_{1} + m_{2})u^{2} - 2U = 0.$$ Применяя квадратичную формулу и сильно упрощая, получаем $$v_{1}' = u - \left[ \frac{2U}{m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)} \right]^{1/2}$$ где мы выбрали отрицательный квадратный корень, потому что масса$1$запускается в$-x$-направление. Аналогичный вывод дает $$v_{2}' = u + \left[ \frac{2U}{m_{2}\left(1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}\right)} \right]^{1/2}$$ где мы выбрали положительный квадратный корень, потому что масса$2$запускается в$+x$-направление.

Мы видим, что как только мы принимаем во внимание третий закон Ньютона и сохранение импульса, система проявляет галилеевскую инвариантность, энергия сохраняется, а приросты скорости одинаковы независимо от того, какой была начальная скорость системы.

---

Некоторые выводы

Стоит задуматься, как перераспределяется энергия между обоими ящиками при разных начальных скоростях.$u$.

В случае, когда начальная скорость$u=0$, освобождение пружины вызывает потенциальную энергию$U$для преобразования в кинетическую энергию, а затем эта энергия распределяется между обоими ящиками.

То же самое можно сказать, если вся система ящик 1 + ящик 2 имеет небольшую начальную скорость$0 < u < \epsilon$(рассмотрю только случаи с положительным$u$; случаи с отрицательным$u$похожи). Оба ящика начинают с небольшой кинетической энергии, а после отпускания пружины оба ящика получают кинетическую энергию за счет накопленной потенциальной энергии пружины.

Однако, когда начальная скорость превышает

$$u_{0} = \frac{1}{2}\left[\frac{2U}{m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)}\right]^{1/2},$$ можно сказать что-то интересное. Если$u > u_{0}$, то освобождение пружины приводит к тому, что ящик 1 теряет кинетическую энергию (потому что теперь он теряет общую скорость из-за того, что его толкают назад). Потерянная кинетическая энергия, разумеется, передается ящику 2 вместе с потенциальной энергией, выделившейся из пружины.

Это точно показывает, почему существует нелинейная связь между кинетической энергией и скоростью. Квадратичная зависимость означает, что ракетный корабль в случае разгона$v\rightarrow v + \Delta v$получает больше кинетической энергии, чем в случае форсажа$0\rightarrow \Delta v$для того же$\Delta v$, и это ожидаемо, потому что в первом случае выхлоп отдает свою кинетическую энергию ракете (больше энергии ракете), а во втором случае выхлоп получает кинетическую энергию за счет испускания (меньше энергии ракете).

Это, казалось бы, неинтуитивное соотношение становится неизбежным, если принять во внимание третий закон Ньютона. Потенциальная энергия, выделяемая пружиной (или топливом ракеты), необходима для разделения двух коробок (или в случае ракеты топливо необходимо для отделения выхлопа от ракеты), но как распределяется полученная кинетическая энергия зависит от начальной скорости системы.