Вывод релятивистского уравнения сохранения энергии для идеальной жидкости

В настоящее время я пытаюсь справиться с первой главой книги Шона М. Кэрролла о пространстве-времени и геометрии. Я немного застрял, скорее всего, из-за непонимания математической операции. Исходя из дивергенции тензора энергии-импульса идеальной жидкости (1.116): ∂ мю Т мю ν "=" ∂ мю ( р + п ) U мю U ν + ( р + п ) ( U ν ∂ мю U мю + U мю ∂ мю U ν ) + ∂ ν п

Я работаю исходя из предположения, что ∂ ν п дает вектор, а не ∂ ν п что дает двойственный вектор.

В любом случае, следующим шагом будет спроецировать его на части вдоль и ортогонально четырем полям скоростей. U мю , что приводит к (1.118): U ν ∂ мю Т мю ν "=" − ∂ мю ( р U мю ) − п ∂ мю U мю .

Если я не ошибаюсь, идея в том, что любая часть уравнения, которая не начинается с U ν выпадет, потому что любая такая часть ортогональна U ν . Части, которые начинаются с U ν потерять его, но получить знак минус. Если бы это было так, результат был бы − ( р + п ) ∂ мю U мю + U ν ∂ ν п . я не понимаю как р может быть включен в частную производную.

Я немного смущен и предполагаю, что это мое незнание тензорных вычислений.

Моя искренняя благодарность, Даймони

Я отредактировал левую часть вашего уравнения дивергенции.

Ответы (1)

1- ваше «предположение» о ковариантности производных p верно. Это всего лишь основы тензорного исчисления, а не специальное предположение.

2-Проецирование вектора/тензора по разным направлениям — практика, широко используемая в математике и физике. Например, вы, вероятно, впервые столкнулись с этим, когда разложили гравитационную силу на блок на наклонной плоскости в Физике 101. Здесь вы используете вектор U ν и проектор на ортогональную плоскость U .

3- Вы забываете первую часть RHS уравнения. 1.116. Действуйте шаг за шагом.

Умножим правую сторону 1,116 на U ν

U ν р ЧАС С "=" U ν U мю U ν ∂ мю ( р + п ) + ( р + п ) ( U ν U ν ∂ мю U мю + U ν U мю ∂ мю U ν ) + U ν ∂ ν п

С использованием U ν U ν "=" − 1

− U мю ∂ мю ( р + п ) + ( р + п ) ( − ∂ мю U мю + U ν U мю ∂ мю U ν ) + U ν ∂ ν п

Теперь помните, что U ν ∂ мю U ν "=" 0 (уравнение 1.117 по Кэрролу) как следствие постоянства U ν U ν "=" − 1 . Так что еще больше упрощаем

− U мю ∂ мю ( р + п ) + ( р + п ) ( − ∂ мю U мю + 0 ) + U ν ∂ ν п

Раскрыть круглые скобки

− U мю ∂ мю р − U мю ∂ мю п − р ∂ мю U мю − п ∂ мю U мю + U ν ∂ ν п

Теперь второй срок − U мю ∂ мю п можно переписать как − U ν ∂ ν п так как мю являются фиктивными, и вы также можете поворачивать индексы вверх/вниз, чтобы получить U ν ∂ ν п и отменить его с последним термином. Таким образом, вы получаете

− U мю ∂ мю р − р ∂ мю U мю − п ∂ мю U мю

Теперь объедините первые два члена (анти-Лейбниц правило) и получите правую часть уравнения. 1.118 в Кэрролле

− ∂ мю ( р U мю ) − п ∂ мю U мю

Я предлагаю, если вы новичок в GR и тензорах:

1- приведите себя в форму, занимаясь "индексной гимнастикой"

2- почитайте другие книги (моя любимая - Gravitation aka MTW)

3- получить доступ/купить, использовать и изучать Wolfram Mathematica (домашнюю или студенческую версию), возможно, через ваш университет. Затем вы можете получить бесплатный пакет под названием xAct и его бесплатный графический интерфейс под названием xPrint (который я написал). Тогда... вы сделаете все это и многое другое в мгновение ока. На мой взгляд, Mathematica — это важный инструмент физики.

Я был так занят делами, не связанными с поездками на работу, что U ν U мю U ν смутил меня. Индексную гимнастику скоро поймают, надеюсь. Моя искренняя благодарность =)
Ортогональная проекция была правильной с первой попытки. Моя искренняя благодарность!
@Daimonie Пожалуйста :-) Для меня это был повод для "LaTexting" :-)
Вывод релятивистского уравнения сохранения энергии для идеальной жидкости
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v