Тензор напряжений: ковариантный или контравариантный?

Question

Тензор напряжений: ковариантный или контравариантный?

Физика
динамика жидкостей
тензорное исчисление
стресс-энергия-импульс-тензор

Квантовая спагеттификация

Тензор напряжений в механике сплошной среды (т. е. отрицательная пространственно-пространственная часть тензора энергии напряжений в теории относительности ¹ ) принимает вид:

\begin{matrix} (1) & о_{я Дж} "=" - п {дельта}_{я Дж} + η (\frac{\partial в_{я}}{\partial {Икс}_{Дж}} + \frac{\partial в_{Дж}}{\partial {Икс}_{я}}) . \end{matrix}

$\newcommand{\p}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\f}[2]{\frac{ #1}{ #2}} \newcommand{\l}[0]{\left(} \newcommand{\r}[0]{\right)} \newcommand{\mean}[1]{\langle #1 \rangle}\newcommand{\e}[0]{\varepsilon} \sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+\eta \l\p{v_i}{x_j}+\p{v_j}{x_i}\r . \tag{1}$ Как следует из названия, это тензор, но мне не ясно, какой тип тензора, и я не могу найти ресурс, который говорит мне, и это мое предположение, что (1) не записано в тензорной нотации (т.е. правильное положение индекса ). Таким образом, мой вопрос заключается в следующем: как записать тензор напряжений (1) в реальной тензорной записи?

_{¹Тензор энергии-импульса: его отношение к силе?}

СлучайныйПреобразование Фурье

просто поднимите индексы в

x_{j}, x_{i}

$x_j,x_i$ и ты можешь идти

Квантовая спагеттификация

@AccidentalFourierTransform, вы уверены? Я беспокоюсь, что с тех пор

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ не обязательно

1

$1$ когда

i = j

$i=j$ это все испортит

СлучайныйПреобразование Фурье

что? как может

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ не быть

1

$1$ когда

i = j

$i=j$ ? что значит

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ значит для тебя?

пользователь140606

Вам нужен контравариантный тензор (верхние индексы), и в вашем посте есть его элементы, а не полный тензор.

Квантовая спагеттификация

@AccidentalFourierTransform См. это physicspages.com/2012/12/31/kronecker-delta-as-a-tensor

алефзеро

Скорее всего, причина, по которой вы не можете найти ответ, заключается в том, что инженеры , которые на самом деле используют этот материал, не заботятся о том, чтобы обозначать вещи как ковариантные или контравариантные — важно выполнять правильные операции над величинами, а не давать им впечатляющие имена. Я бы написал ваше уравнение (1) только так, как вы его написали!

СлучайныйПреобразование Фурье

@Quantumspaghettification, это ужасная запись. Это не то, что люди обычно имеют в виду, когда пишут

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ .

пользователь4552

возможный дубликат physics.stackexchange.com/q/76048

Ответы (2)

Тензор напряжений: ковариантный или контравариантный?

просто поднимите индексы в $x_j,x_i$ и ты можешь идти
@AccidentalFourierTransform, вы уверены? Я беспокоюсь, что с тех пор $\delta_{ij}$ не обязательно $1$ когда $i=j$ это все испортит
что? как может $\delta_{ij}$ не быть $1$ когда $i=j$ ? что значит $\delta_{ij}$ значит для тебя?
Вам нужен контравариантный тензор (верхние индексы), и в вашем посте есть его элементы, а не полный тензор.
@AccidentalFourierTransform См. это physicspages.com/2012/12/31/kronecker-delta-as-a-tensor
Скорее всего, причина, по которой вы не можете найти ответ, заключается в том, что инженеры , которые на самом деле используют этот материал, не заботятся о том, чтобы обозначать вещи как ковариантные или контравариантные — важно выполнять правильные операции над величинами, а не давать им впечатляющие имена. Я бы написал ваше уравнение (1) только так, как вы его написали!
@Quantumspaghettification, это ужасная запись. Это не то, что люди обычно имеют в виду, когда пишут $\delta_{ij}$ .
возможный дубликат physics.stackexchange.com/q/76048

Qмеханик · Answer 1

Кажется, что OP по существу хочет рассмотреть несжимаемую ньютоновскую жидкость на римановом трехмерном многообразии. $(M,g)$ (в отличие, скажем, от идеальной релятивистской жидкости ).
Далее мы должны написать локальные координаты $x^i$ с верхним (в отличие от нижнего) индексом, как предлагает пользователь AccidentalFourierTransform в комментарии выше.
Дельту Кронекера следует заменить метрическим тензором, ср. например, этот пост Phys.SE.
Частные производные $\partial_i$ следует заменить ковариантными производными ( Леви-Чивита ) $\nabla_{\!i}$ . Этот пункт 4 и предыдущий пункт 3 также были предложены в ответе пользователем Честером Миллером.
Используйте музыкальный изоморфизм для повышения и понижения индексов. $v_i=g_{ij}v^j$ на поле несжимаемой скорости, ${\rm div} (v)= \nabla_{\!i}v^i=0$ .
Затем обе стороны уравнения ОП. (1) становится симметричным (0,2) ковариантным тензором
$\begin{matrix} (1') & о_{я Дж} "=" - п г_{я Дж} + η (\nabla_{я} в_{Дж} + \nabla_{Дж} в_{я}), п "=" - \frac{1}{3} г^{я Дж} о_{я Дж} . \end{matrix}$ $\sigma_{ij}~=~-pg_{ij}+\eta \left(\nabla_{\!i} v_j+ \nabla_{\!j} v_i\right), \qquad p~=~ -\frac{1}{3} g^{ij}\sigma_{ij}. \tag{1'}$

Чет Миллер · Answer 2

Приведенное вами уравнение выражается в декартовых координатах, где различия между ковариантными и контравариантными компонентами не существует. Если вы хотите выразить это определяющее уравнение ньютоновской жидкости в терминах «фактических» тензорных обозначений, частные производные в правой части должны быть заменены ковариантными производными, а дельта Кронекера должна быть заменена соответствующим образом пронумерованным представлением тензора. метрический тензор.

Да, это действительно правильно. +1 [в качестве небольшой придирки можно отметить, что в декартовых координатах некоторые люди будут ставить $x^i=-x_i$ , поэтому различие может иметь значение, в зависимости от соглашений]

Тензор напряжений: ковариантный или контравариантный?

Квантовая спагеттификация

СлучайныйПреобразование Фурье

Квантовая спагеттификация

СлучайныйПреобразование Фурье

пользователь140606

Квантовая спагеттификация

алефзеро

СлучайныйПреобразование Фурье

пользователь4552

Ответы (2)

Qмеханик

Чет Миллер

СлучайныйПреобразование Фурье

Тензор энергии напряжений идеальной жидкости и четырехскоростной

Разложение симметричной части тензора

Симметрия тензора напряжений Коши 3 × 33 × 33 \ умножить на 3 [дубликат]

Тензор напряжения-энергии-импульса

Как газ может выдерживать растягивающие напряжения?

Как я могу получить тензор напряжений для ньютоновской жидкости в более физических терминах?

Лагранжиан для идеальной жидкости Тензор энергии-импульса

Вывод релятивистского уравнения сохранения энергии для идеальной жидкости

Тензор напряжений в произведении 2D КТП

Тензор энергии напряжения и ковариантная производная 4-импульса