Путаница в выводе Максвеллом закона силы Ампера - Часть II [закрыта]

ОТВЕТ НА ВОПРОС 1. Расстояние$r$между двумя точками P и P' в пространстве не зависит от репера$Oxyz$. Это инвариант.

Предположим, что у нас есть две точки Р и Р' в пространстве на расстоянии$r$друг от друга и мы хотим найти скалярную функцию$P(r)$что удовлетворяет ряду условий. Пусть существует система координат$Oxyz$это более удобно, чем другие, и облегчает мою жизнь, чтобы вычислить и определить эту скалярную функцию$P(r)$, например сказать, что я нахожу$P(r)=3r^{3/2}-2$. Этот результат не зависит от выбора системы$Oxyz$с$r$одинакова во всех системах. Вот что сделал Максвелл: он обнаружил, что система координат$Oxyz$со своей осью$Ox$совмещен с касательной к нештрихованной кривой$\:\left(l=dx/ds=1, m=dy/ds=0, n=dz/ds=0 \right)\:$в точке P удобнее и дойти до уравнения (20-в учебнике), см. ниже, которое не зависит от системы.

---

ОТВЕТ НА ВОПРОС 2. Ключом к решению является понимание геометрии задачи и знание того, какие переменные зависят от параметров длины.$s,s'$кривых.

$$\begin{equation} \begin{matrix} \dfrac{dx}{ds}=l, & \dfrac{dy}{ds}=m, &\dfrac{dz}{ds}=n,\\ \dfrac{dx'}{ds'}=l', & \dfrac{dy'}{ds'}=m', &\dfrac{dz'}{ds'}=n', \end{matrix} \tag{2-in textbook} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \xi = x'-x, \qquad \eta = y'-y, \qquad \zeta = z'-z. \tag{under 12-in textbook} \end{equation}$$

---

$$\begin{align} \dfrac{d^{2}X}{dsds'} & =l\: \:\biggl\{ -\left( A+B \right)\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{dr}{ds'} \xi^{2}+C\dfrac{dr}{ds'}+\left( B+C \right)\dfrac{l'\xi}{r} \biggr\},\\ & +m \biggl\{ -\left( A+B \right)\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{dr}{ds'} \xi\eta+C\dfrac{l'\eta}{r}+B\dfrac{m'\xi}{r} \biggr\},\\ & +n \: \biggl\{ -\left( A+B \right)\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{dr}{ds'} \xi\zeta+C\dfrac{l'\zeta}{r}+B\dfrac{\eta'\xi}{r} \biggr\}. \tag{15-in textbook} \end{align}$$

$$\begin{equation} P=\int_{r }^{\infty}\left( A+B \right)\dfrac{1}{r^{2}}dr, \qquad \text{and} \qquad Q=\int_{r }^{\infty}Cdr, \tag{16-in textbook} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \text{Hence} \qquad \left( A+B \right)\dfrac{1}{r^{2}}= - \dfrac{dP}{dr}, \qquad \text{and} \qquad C= - \dfrac{dQ}{dr}. \tag{17-in textbook} \end{equation}$$

$$\begin{equation} P=\dfrac{1 }{ 2r }\left( B+C\right) \tag{20-in textbook} \end{equation}$$

$$\begin{align} & \dfrac{dX}{ds} = \biggl\{\dfrac{ B+C}{2} \dfrac{\xi}{r}\left( l\xi+m\eta+n \zeta\right)-Q\biggr\}_{0}^{s'}\\ & +m \int_{0}^{s'} \dfrac{ B-C}{2} \dfrac{ m'\xi -l'\eta}{r}ds'-n\int_{0}^{s'} \dfrac{ B-C}{2} \dfrac{ l'\zeta-n'\xi}{r}ds'. \tag{21-in textbook} \end{align}$$ В учебнике знак минус $\:-Q\:$в первом члене правой стороны, вероятно, опечатано как плюс $\:+Q\:$.

---

Единичный вектор$\left(l,m,n\right)$касательная к штрихованной вверх кривой в точке P зависит от параметра длины$\;s\;$но не зависит от параметра длины$\;s'\;$штрихованной кривой. Поэтому эти переменные находятся вне интегралов по$\;s'\;$в следующих интеграциях

$$\begin{align} \dfrac{dX}{ds} & =l\: \: \int_{0}^{s'} \biggl\{ -\left( A+B \right)\dfrac{1}{r^{2}} \xi^{2}dr+Cdr+\left( B+C \right)\dfrac{l'\xi}{r}ds' \biggr\},\\ & +m \int_{0}^{s'} \biggl\{ -\left( A+B \right)\dfrac{1}{r^{2}} \xi\eta dr+C\dfrac{l'\eta}{r}ds'+B\dfrac{m'\xi}{r}ds' \biggr\},\\ & +n \: \int_{0}^{s'} \biggl\{ -\left( A+B \right)\dfrac{1}{r^{2}}\xi\zeta dr +C\dfrac{l'\zeta}{r}ds'+B\dfrac{\eta'\xi}{r} ds'\biggr\}. \tag{A-01} \end{align}$$

$$\begin{align} \dfrac{dX}{ds} & =l\: \: \int_{0}^{s'} \biggl\{ \xi^{2}dP-dQ+\left( B+C \right)\dfrac{l'\xi}{r}ds' \biggr\},\\ & +m \int_{0}^{s'} \biggl\{ \xi\eta dP+C\dfrac{l'\eta}{r}ds'+B\dfrac{m'\xi}{r}ds' \biggr\},\\ & +n \: \int_{0}^{s'} \biggl\{\xi\zeta dP +C\dfrac{l'\zeta}{r}ds'+B\dfrac{\eta'\xi}{r} ds'\biggr\}. \tag{A-02} \end{align}$$

---

В следующих уравнениях мы используем интегрирование по частям, имея в виду определения переменных$\:l,m,n,l',m',n',\xi,\eta,\zeta \:$и их зависимость (или независимость) от параметров длины$\;s,s'\;$и хрестоматийные уравнения (17) и (20), соотношения для функций$P(r)$и$C(r)$необходимо объяснить результаты.

$$\begin{align} \int_{0}^{s^{\prime}}\xi^{2}dP & = \biggl[\xi^{2}P\biggr]_{0}^{s^{\prime}} -\int_{0}^{s^{\prime}}P d\xi^{2}\\ & = \biggl[P\xi^{2}\biggr]_{0}^{s^{\prime}}-\int_{0}^{s^{\prime}}2P \xi d\xi\\ & = \biggl[P\xi^{2}\biggr]_{0}^{s^{\prime}}-\int_{0}^{s^{\prime}}2P \xi \underbrace{\dfrac{d\xi}{ds^{\prime}}}_{=l ^{\prime}}ds^{\prime}\\ & = \biggl[P\xi^{2}\biggr]_{0}^{s^{\prime}} -\int_{0}^{s^{\prime}}2P \xi l ^{\prime}ds^{\prime}\\ &= \biggl[\dfrac{B+C}{ 2 } \dfrac{ \xi^{2}}{ r } \biggr]_{0}^{s^{\prime}} -\int_{0}^{s^{\prime}}\left( B+C \right)\dfrac{ l ^{\prime} \xi }{r}ds^{\prime} \tag{A-03.$\xi\xi$} \end{align}$$

$$\begin{align} \int_{0}^{s^{\prime}}\xi\eta dP & = \biggl[\xi\eta P\biggr]_{0}^{s^{\prime}} -\int_{0}^{s^{\prime}}P d\left(\xi\eta \right)\\ & = \biggl[P\xi\eta\biggr]_{0}^{s^{\prime}}-\int_{0}^{s^{\prime}}P \xi d\eta-\int_{0}^{s^{\prime}}P\eta d\xi\\ & = \biggl[P\xi\eta \biggr]_{0}^{s^{\prime}}-\int_{0}^{s^{\prime}}P \xi \underbrace{\dfrac{d\eta}{ds^{\prime}}}_{=m ^{\prime}}ds^{\prime} - \int_{0}^{s^{\prime}}P\eta \underbrace{\dfrac{d\xi}{ds^{\prime}}}_{=l ^{\prime}}ds^{\prime}\\ & = \biggl[ P\xi\eta \biggr]_{0}^{s^{\prime}} -\int_{0}^{s^{\prime}}P\left(m'\xi + l'\eta \right)ds^{\prime}\\ & = \biggl[\dfrac{B+C}{ 2 } \dfrac{ \xi\eta}{ r } \biggr]_{0}^{s^{\prime}} -\int_{0}^{s^{\prime}}\dfrac{B+C}{ 2 }\dfrac{m'\xi + l'\eta }{r}ds^{\prime} \tag{A-03.$\xi\eta$} \end{align}$$

$$\begin{align} \int_{0}^{s^{\prime}}\xi\zeta dP & = \biggl[\xi\zeta P\biggr]_{0}^{s^{\prime}} -\int_{0}^{s^{\prime}}P d\left(\xi\zeta \right)\\ & = \biggl[P\xi\zeta\biggr]_{0}^{s^{\prime}}-\int_{0}^{s^{\prime}}P \xi d\zeta -\int_{0}^{s^{\prime}}P \zeta d\xi \\ & = \biggl[P\xi\zeta \biggr]_{0}^{s^{\prime}}-\int_{0}^{s^{\prime}}P \xi \underbrace{\dfrac{d\zeta}{ds^{\prime}}}_{=n ^{\prime}}ds^{\prime} -\int_{0}^{s^{\prime}}P \zeta \underbrace{\dfrac{d\xi}{ds^{\prime}}}_{=l ^{\prime}}ds^{\prime}\\ & = \biggl[ P\xi\zeta \biggr]_{0}^{s^{\prime}} -\int_{0}^{s^{\prime}}P\left(n' \xi +l'\zeta \right)ds^{\prime}\\ & = \biggl[\dfrac{B+C}{ 2 } \dfrac{ \xi\zeta}{ r } \biggr]_{0}^{s^{\prime}} -\int_{0}^{s^{\prime}}\dfrac{B+C}{ 2 }\dfrac{n'\xi + l'\zeta }{r}ds^{\prime} \tag{A-03.$\xi\zeta$} \end{align}$$

---

РЕДАКТИРОВАТЬ