Вывод уравнения Шредингера из КТП Клейна-Гордона с определением ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩\ psi(\textbf{x},t)\equiv \langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle

В книге Мэтью Шварца «Квантовая теория поля и стандартная модель», стр. 23-24 , волновая функция позиционного пространства определяется как

(2,82+2,83) ψ ( Икс ) "=" ⟨ 0 | ф ( Икс ) | ψ ⟩ ,

где | ψ ⟩ есть любое состояние фоковского пространства. Затем он использует уравнения (i) ∂ т 2 ф 0 "=" ( ∇ 2 − м 2 ) ф 0 (т.е. уравнение Клейна-Гордона для свободного массивного скалярного поля ф 0 ( Икс , т ) ) и (ii) [ ЧАС , ф 0 ] "=" − я ∂ т ф 0 вывести уравнение 2.85, в следующие 3 шага:

(2,85) я ⟨ 0 | ∂ т ф 0 ( Икс , т ) | ψ ⟩ "=" ⟨ 0 | ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 п 2 + м 2 2 ю п ( а п е − я п ⋅ Икс − а п † е я п ⋅ Икс ) | ψ ⟩ "=" ⟨ 0 | м 2 − ∇ 2 ф 0 ( Икс , т ) | ψ ⟩ .

Это уравнение используется для успешного вывода уравнения Шредингера в квантовой механике для состояния ψ ( Икс , т ) ≡ ⟨ 0 | ф 0 ( Икс , т ) | ψ ⟩ .

  1. Первое равенство следует из дифференцирования ф 0 ( Икс ) относительно т . Как второе равенство следует из первого? Как используются входные данные (i) и (ii) для получения второго равенства из первого?

  2. Правда ли, что оператор

    я ∂ т ∼ м 2 − ∇ 2   ?
    Если да, то какой смысл делать средний шаг?

Для связи между Schr. экв. и уравнение Кляйна-Гордона, см., например, A. Zee, QFT in a Nutshell, Chap. III.5 и этот пост Phys.SE плюс ссылки в нем.
@Qmechanic Мне особенно интересно понять этапы книги Шварца. В частности, как он получил второе равенство из первого и на каком шаге он использовал [ ЧАС , ф 0 ] "=" − я ∂ т ф 0 ? А также что случилось с интегралом по г 3 п ?
Он использовал (ii) для получения/подтверждения (i), использованного на первом этапе. Затем он выполнил интеграл импульса, чтобы получить преобразование Фурье, второй шаг.
@CosmasZachos Этот интеграл импульса очевиден? Поскольку в RHS (2.85) стоит знак минус, которого нет в определении ф 0 ( Икс , т ) .
@CosmasZachos Я согласен, но я не понимаю, как работает интеграл импульса. Я согласен ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 п 2 + м 2 2 ю п а п е − я п Икс "=" м 2 − ∇ 2 ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п а п е − я п Икс . Но второй член имеет знак минус и е + я п Икс вместо е − я п Икс , который является FT Отменяют ли эти различия знаков, чтобы дать нам ф 0 ( Икс , т ) используя какое-то свойство FT?
@CosmasZachos Ошибка в этом вопросе по сравнению со Шварцем является дополнительным фактором я в правой части (2.85). В этом случае я не понимаю, насколько правая сторона (2.85) реальна; комплексное сопряжение дает коэффициент − 1 . И, кроме того, я не понимаю, как (2.81) и (2.85) оба являются реальными ответами на мой вопрос. (Извини!)
Я исправил ошибку. Второго срока нет. См. @ Ответ Вальтера Моретти, который исключает посредника.
Связанный ответ physics.stackexchange.com/a/734239/226902

Ответы (3)

(в качестве личного комментария: я не знаю, зачем заниматься такими сложными вещами, как аппроксимация операторов и т. д., когда физика очевидна...)

Единственное требование состоит в том, что

энергосодержание состояния должно иметь очень малые значения по отношению к массе частицы.

На практике поддержка к -Преобразование Фурье ψ ( Икс , т ) должны быть достаточно сконцентрированы в множестве, где | п | << м . В этой ситуации мы можем безопасно приблизиться п 0 ≃ п 2 2 м + м (я предполагаю с "=" ℏ "=" 1 ). В этой ситуации

ψ ( Икс , т ) "=" ⟨ 0 | ф 0 ( Икс , т ) | ψ ⟩ ≃ е − я м т ( 2 π ) 3 / 2 ∫ г 3 п е я ( п ⋅ Икс − п 2 2 м т ) ψ ^ ( п ) 2 м
До фактора е − я м т которая является фазой (даже если она зависит от времени) и может быть опущена (фактически она отвечает за правило суперотбора масс Баргамана), полученная функция, очевидно, удовлетворяет стандартному свободному уравнению Шредингера .

Это приближение явно не выполняется для безмассовых частиц, и это объясняет, почему фотоны не решают (приблизительно) уравнение Шредингера...

Хороший ответ. Но, думаю, стоило бы добавить, что | ψ ⟩ "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 ψ ( п ) а п † | 0 ⟩ .

  1. Шаг следует обычному соотношению, согласно которому преобразование Фурье п ⋅ ф ( п ) является ∂ Икс ф ~ ( Икс ) , т.е. умножение на переменную становится дифференцированием.

  2. Нет общего отношения между ∂ т и м 2 − ∇ 2 , так как вообще даже не определено что м является. Операторы должны воздействовать на какую-то конкретную заданную функцию, чтобы вообще иметь какое-либо отношение.

На каком этапе он использовал информацию (i) и (ii)? @ACuriousMind

Если вы можете согласиться с тем, что первый шаг исходит из дифференцирования по времени, то второй шаг заключается в том, чтобы просто отметить, что оператор м 2 − ∇ 2 выступает в качестве м 2 + п 2 в импульсном пространстве. Это просто обобщение того факта, что оператор ∇ просто действует как я п в импульсном пространстве. Они дают тот же результат. Итак, нет, нет никакой общей связи между ∂ т и м 2 − ∇ 2 , поскольку они являются независимыми дифференциальными операторами. Результат является просто свойством преобразования Фурье. Конечный результат таков,

я ∂ т ψ ( Икс ) "=" м 2 − ∇ 2 ψ ( Икс )

из вашего определения волновой функции пространственного положения.

Надеюсь, это поможет! Кроме того, я надеюсь, что вы продолжите читать Шварца. Это фантастическая книга.

В вашем ответе не указано, на каком этапе он использовал (ii) [ ЧАС , ф 0 ] "=" − я ∂ т ф 0 . Более того, почему интеграл по г 3 п / ( 2 π ) 3 Уходите? @БобНайтон
Интегрирование по импульсу ушло, вытащив пространственную производную и обратив внимание на определение преобразования Фурье поля — это то, что осталось. Также я не вижу необходимости в коммутаторе, если первый шаг уже завершен.
@BobKnighton Я согласен, что оператор м 2 − ∇ 2 выступает в качестве м 2 + п → 2 в импульсном пространстве, но то, на что он действует, не является оператором квантового поля, не так ли? Из-за знака минус в (2.85)?
Вывод уравнения Шредингера из КТП Клейна-Гордона с определением ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩\ psi(\textbf{x},t)\equiv \langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v