Полюса для частицы, рассеянной в дельта-потенциале

Я работаю над проблемой, которую профессор дал мне, чтобы получить идею для исследования, которое он проводит, и я достиг точки, когда мне трудно понять, куда мне нужно идти от того, где я нахожусь. Я также хотел бы продолжить и извиниться за то, что не знаю, как правильно форматировать.

Мне дали, что частица рассеивается с заданным гамильтонианом:

ЧАС "=" п 2 − г дельта ( Икс )
Где дельта ( Икс ) – дельта-функция Дирака . Мне удалось найти состояния в представлении импульса, и я должен был преобразовать их Фурье, чтобы получить состояния представления положения. Это приводит к интегралу с простыми полюсами на действительной оси, и его можно решить, переместив полюса выше или ниже действительной оси на некоторую константу, применив теорему о вычетах и ​​приравняв константу к нулю. Это приводит к трем различным решениям, в зависимости от того, перемещаю ли я один полюс вверх и один вниз (две возможности) или оба полюса в контур.

Пока я разговаривал со своим профессором, он упомянул, что решения работают только для определенных значений Икс , и что диапазон Икс определяется тем, что заставляет дугу контура обращаться в ноль. На самом деле мне трудно это увидеть, так как это вносит двусмысленность в решения. Если я сдвигаю левый полюс вверх, а правый полюс вниз и замыкаю контур в верхней плоскости, это означает, что x должен быть положительным, чтобы получить в интеграле убывающую экспоненту. Однако ничто не мешает мне двигать полюса в противоположном направлении и замыкаться сверху, чтобы получить другое решение для Икс > 0 .

Что-то не так в математике, или то, как я перемещаю полюса, зависит от интересующей меня физической ситуации? (Что не было бы плоскими волнами, движущимися влево в течение Икс > 0 г.)

Я должен упомянуть, что я предполагаю:

| ψ >= | п > + | ψ с с >

Где p - входящий импульс и | ψ с с > — рассеянная часть волновой функции.

Работая в импульсном представлении, я получаю:

ψ с с ( к ) "=" г − г 2 я 2 п + г я 2 π ( к 2 − п 2 )

Где k — переменная импульса, а p — фиксированный импульс налетающей частицы. Преобразование, которое я получаю:

ψ с с ( Икс ) "=" η ∫ − ∞ ∞ е я к Икс к 2 − п 2 д к

Вот и я столкнулся с проблемой со столбами. Я знаю, что не должно быть никаких волн, движущихся влево Икс > 0 . Моя конечная цель — проверить свои состояния, проверив коэффициенты отражения и передачи и подтвердив, что их сумма равна 1.

Я думаю, что для этой конкретной проблемы проще действовать, как в этом ответе . Я не вижу, как вы получаете полюса, возможно, будет полезно добавить некоторые детали в ваш вопрос.
Спасибо, но из того, что я могу сказать, профессор пытается мотивировать перенормировку и хочет, чтобы я попрактиковался в переходе от импульса к представлению положения.
Вам может быть интересно посмотреть на разных пропагаторов с разными рецептами для я ϵ : см. 1 и 2 (продвинутый, отсталый, Фейнман). Даже если вы работаете в 1 пространственное измерение вместо 4 ( 3 пространственный + 1 время), это может вас заинтересовать.
Полюса на оси энергии (время, преобразованное Фурье) смещаются вследствие причинности пропагатора (преобразование Фурье оператора Хевисайда вносит сдвиг полюсов). Я не вижу здесь никакого времени. Может быть, это поможет. Решается ли это в представлении взаимодействия?

Ответы (1)

Итак, одна деталь, которую я упустил из вопроса, заключалась в следующем:

ψ с с ( к ) "=" г + г я 2 π ( к 2 − п 2 )
Где:
я "=" ∫ − ∞ ∞ ψ ( д ) д д         ( 1 )
(Я использовал произвольное предписание в первоначальном описании задачи, это то, что я получаю перед решением для я )
Используя уравнение (1), мы можем решить для I , получив:
я "=" г 2 π ∫ ∞ ∞ д д д 2 − п 2 1 − г 2 π ∫ − ∞ ∞ д д д 2 − п 2

Теперь интегралы в я можно решить, сдвинув полюса на действительной оси. Сдвиги определяем преобразованием Фурье ψ ( к ) чтобы получить ψ ( Икс ) , и переместите полюса, чтобы выполнить наши граничные условия: плоская волна движется вправо на Икс > 0 и плоская волна, движущаяся влево за Икс < 0 .

Полученное нами преобразование Фурье пропорционально:

∫ − ∞ ∞ д к   е я к Икс ( к + п ) ( к − п )
Если мы замкнем контур вверх, это даст нашу волновую функцию для Икс > 0 , так как дуга контура должна стремиться к нулю, когда радиус стремится к бесконечности. Закрытие дает волновую функцию для Икс < 0 .

Путем некоторых рассуждений мы получаем, что правильный рецепт дает:

лим ϵ → 0 ∫ − ∞ ∞ е я к Икс ( к + п + я ϵ ) ( к − п − я ϵ )

Теперь это рецепт, который мы должны использовать в я , и когда мы делаем преобразование Фурье. В первый раз, когда я решал задачу, я первоначально думал, что у нас есть 3 возможных рецепта для преобразования Фурье и для я . Однако мы должны выбрать один рецепт, который соответствует нашим граничным условиям, и придерживаться его на протяжении всей задачи, поскольку этот рецепт ограничивает нашу волновую функцию условиями. Решение оставшейся части задачи теперь дает правильные коэффициенты отражения и передачи.

Полюса для частицы, рассеянной в дельта-потенциале
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v