Перепишите диаграмму Фейнмана в позиционном пространстве в импульсном пространстве.

Question

Перепишите диаграмму Фейнмана в позиционном пространстве в импульсном пространстве.

Физика
диаграммы фейнмана
преобразование Фурье
квантовая теория поля
домашнее задание и упражнения

Миккель Рев

Я следую Пескину, но не понимаю, как переписать диаграмму Фейнмана в позиционном пространстве в импульсном пространстве.

Предположим, мы находимся в $\phi^4$ -теория и $\phi$ является вещественным скалярным полем. Было бы поучительно на примере. Я полагаю, что это возможно:

перейти от аналитического выражения в пространстве положений к аналитическому выражению в импульсном пространстве
перейти от диаграммы Фейнмана в пространстве положений к аналитическому выражению в импульсном пространстве.

Можете ли вы показать, как это сделать шаг за шагом? Для экономии времени могу предложить диаграмму Фейнмана: А вот аналитическое выражение

- \frac{(я λ)^{2}}{2 (4!)^{2}} \int г^{4} г \int г^{4} ж Д_{Ф} (Икс - г) Д_{Ф} (у - ж) Д_{Ф} (г - ж)^{3}

$-\frac{(i \lambda)^2}{2 (4!)^2} \int d ^4 z\, \int d^4 w\, D_F(x-z) D_F(y-w) D_F(z-w)^3$

Ответы (1)

Перепишите диаграмму Фейнмана в позиционном пространстве в импульсном пространстве.

Шон Э. Лейк · Answer 1

Когда вы доказываете это в первый раз, вы применяете следующие тождества путем замены:

\begin{aligned} Д_{Ф} (Икс - у) & "=" \int г^{4} п \frac{е^{- я п (Икс - у)}}{4 π^{2}} (\frac{1}{п^{2} - м^{2} + я ϵ}) \\ {дельта}^{4} (Икс - у) & "=" \int г^{4} п \frac{е^{- я п (Икс - у)}}{4 π^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align}D_F(x-y) &= \int \operatorname{d}^4p \frac{\operatorname{e}^{-i p (x - y)}}{4\pi^2} \left(\frac{1}{p^2-m^2 + i\epsilon}\right)\\ \delta^4(x-y) &= \int \operatorname{d}^4p \frac{\operatorname{e}^{-i p (x - y)}}{4\pi^2}. \end{align}$ The

i ϵ

$i\epsilon$ является несколько произвольным и дает пропагатор Фейнмана.

Обратите внимание, что вы можете выполнить этот процесс на уровне интеграла плотности действия/лагранжа, прежде чем выводить диаграммы Фейнмана, замкнув множество повторных доказательств одних и тех же тождеств для разных диаграмм Фейнмана. Для этого необходимо использовать замену:

ф (п) \equiv \int г^{4} Икс \frac{е^{я п Икс}}{4 π^{2}} ф (Икс),

$\phi(p) \equiv \int \operatorname{d}^4 x \frac{\operatorname{e}^{ipx}}{4\pi^2} \phi(x),$ в дополнение к дельта-функции, приведенной выше.

Когда вы продвигаетесь дальше в своей карьере, вы переходите прямо к пропагаторам импульсного пространства, где каждая линия дает пропагатор импульсного пространства (количество в скобках выше), а чистый 4-импульс, втекающий в каждую вершину, равен нулю (сохранение дельты импульса). функции, возникающие из пространственных интегралов от экспонент).

Было бы здорово, если бы вы могли пройтись по шагам, как просили :)

Перепишите диаграмму Фейнмана в позиционном пространстве в импульсном пространстве.

Миккель Рев

Ответы (1)

Шон Э. Лейк

Миккель Рев

Однопетлевая диаграмма ϕ→ϕϕ→ϕ\phi \to \phi в теории gϕ3gϕ3g\phi^3

Верна ли диаграмма Фейнмана, изображающая вакуумный пузырь, «который становится реальным»?

Сложный лагранжиан — проверка правил Фейнмана

2π2π2\pi и правила Фейнмана

Интеграл в nnn-мерном евклидовом пространстве

Как вы доказываете, что L=I−V+1L=I−V+1L=I-V+1 в теории λϕ4λϕ4\lambda\phi^4?

Амплитуда рассеяния с изменением базиса полей

Поправка к скалярному пропагатору - производная связь

Расходящаяся петля Фейнмана в импульсном пространстве — как описать ее в пространстве положений?

Фактор симметрии для диаграмм Фейнмана в ϕ4ϕ4\phi^4-теории для nnn-точечной функции Грина