Интеграл в nnn-мерном евклидовом пространстве

Я задал этот вопрос в Mathematics Stack Exchange , но, к сожалению, ответа пока нет. Я перепечатываю это, потому что этот интеграл взят из QFT, и, возможно, кто-то здесь уже делал это раньше или мог бы мне помочь. Я просто копирую этот пост.

Я хочу вычислить этот интеграл в н -мерное евклидово пространство.

я ( Икс ) "=" ∫ р н г н к ( 2 π ) н е я ( к ⋅ Икс ) к 2 + а 2 ,
где к 2 "=" ( к ⋅ к ) , к "=" ( к 1 , … , к н ) е р н , Икс "=" ( Икс 1 , … , Икс н ) е р н , а е р .

Я сделал этот интеграл для н "=" 3 по сферическим координатам и теореме о вычетах. У меня есть

я ( р ) "=" 1 4 π р е − а р ,
где р "=" | Икс |

Но в н -dimensions Мне не удалось использовать сферические координаты , потому что я никогда не делал этого раньше. Также я вижу, что этот интеграл является преобразованием Фурье 1 к 2 + а 2 , но и здесь у меня не получилось, потому что я не могу найти пару Фурье в своих справочниках.

Если бы кто-то мог направить меня в эту интеграцию, было бы здорово.

Подсказка: преобразование Фурье.
@William Как видите, он упомянул об этом: «Также я вижу, что этот интеграл является преобразованием Фурье <...>, но я и здесь не смог, потому что не могу найти пару Фурье в своих справочниках».
@xxxxx: Ах, да, надо было читать повнимательнее.

Ответы (1)

ВНИМАНИЕ: Функция не является абсолютно интегрируемой для н > 1 , поэтому интеграл сильно зависит от того, как вы решите его вычислить, если разобьёте интегрирование на повторные интегралы.

Вместо этого используйте цилиндрические координаты. к "=" ( г , р → ) , где р → е р н − 1 и г е р . У вас есть этот способ, предполагая, что Икс направлен вдоль г :

я ( Икс ) "=" 1 ( 2 π ) н ∫ р н − 1 г р → ∫ р г г е я | Икс | г р → 2 + г 2 + а 2 "=" ю н − 1 ( 2 π ) н ∫ 0 + ∞ г р ∫ р г г е я | Икс | г р н − 2 р 2 + г 2 + а 2
Так:
я ( Икс ) "=" 2 ю н − 1 ( 2 π ) н ∫ 0 + ∞ г р ∫ 0 + ∞ г г р н − 2 потому что ⁡ ( | Икс | г ) р 2 + г 2 + а 2
где ю н − 1 "=" 2 π ( н − 1 ) / 2 Г ( ( н − 1 ) / 2 ) является мерой поверхности единичной сферы в р н − 1 .

Внутренний интеграл можно найти в нескольких книгах, например тождество 3.723(2) в книге Градштейна - Рыжика (седьмое издание). Выполняя его, человек имеет:

я ( Икс ) "=" π ю н − 1 ( 2 π ) н ∫ 0 + ∞ г р р н − 2 е − | Икс | р 2 + а 2 р 2 + а 2
Оставшийся интеграл, переходя к интегрированию в г ( р 2 / а 2 ) , можно вычислить в терминах функций Бесселя К ν используя тождество 3.479(1) в книге Градштейна - Рыжика (седьмое издание).

Пожалуйста, проверьте все, так как, как обычно, я не уверен в своих расчетах!

Спасибо! Я проверил ваши расчеты, и все в порядке.
Интеграл в nnn-мерном евклидовом пространстве
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v