Я не понимаю ленточной структуры твердых тел

Хорошо, я ни в коем случае не эксперт по твердотельным устройствам, но я мог бы быть немного полезен.

Зонная структура в твердых телах возникает только благодаря периодичности решетки. Все упирается в эту периодичность.

Периодичность решетки делает потенциал также периодическим.

Эта периодичность имеет много (интересных) следствий (состояния Блоха и бла-бла-бла), но для вас важно то, что собственные энергетические состояния гамильтониана задаются формулой$\vec{k}$, вектор обратного пространства и еще один индекс, который я назову «n» (этот «n» будет обозначать полосы).

Теперь обратное является периодическим, потому что кристалл периодичен. Затем

$\epsilon_n(\vec{k})=\epsilon_n(\vec{k}+period)$

Итак, вы видите, что этот энергетический спектр одиночного электрона в периодическом потенциале кристалла должен быть ограничен, и все значения энергии для данного$n$должно находиться в диапазоне возможных значений. ЭТО структура группы. У вас есть полоса для каждого "n".

Теперь все$\epsilon_n(\vec{k})$допустимый? Нет (по крайней мере, нет, если вы работаете в граничных условиях Борна и фон Кармана (что я всегда видел)). Эти граничные условия дискретизируют возможные$\vec{k}$векторов (и на самом деле вы можете ограничиться$\vec{k}$примитивной ячейки обратной решетки по Борну и фон Карману).

Итак, вы видите, что электроны в кристаллах тоже находятся в дискретном спектре.

Это довольно хорошо объяснено в книге Эшкрофта. Идея в том, что периодичность решетки дает вам зонную структуру энергетических уровней отдельного электрона. Тогда граничные условия Борна и фон Кармана дискретизируют спектр.

Находя спектр, вы предполагаете, что твердое тело имеет бесконечную протяженность, и поэтому электрон на самом деле не связан. Таким образом, вы можете получить континуум импульса.

Рассмотрим, например, тривиальный случай, когда атомов нет, а в пространстве есть только свободный электрон. Тогда энергия пропорциональна квадрату импульса, а импульс может быть сколь угодно большим, так что вы просто получите одну большую полосу.

Полосы возникают в результате взаимодействия электрона с решеткой. Предположим, мы можем добавить в решетку атомов, с которыми взаимодействует электрон. Как это меняется и заставляет нас иметь несколько отдельных полос? Обратите внимание, что потенциал атомов нарушает непрерывную трансляционную инвариантность (и, следовательно, сохранение импульса). Однако, поскольку атомы все еще лежат на решетке, мы имеем инвариантность относительно переносов векторами решетки, и, таким образом, мы имеем более слабую форму сохранения импульса, которая говорит, что волновое число сохраняется только до волнового вектора обратной решетки к решетки, на которой находятся наши атомы.

Но наш энергетический спектр все еще кажется связанным, как мы получаем ширину запрещенной зоны из-за несохранения импульса? Теперь рассмотрим волновой вектор обратной решетки$\vec{K}$и волновое число электрона$\vec{k}$около$\vec{K}/2$. Тогда законы симметрии не запрещают переход от волнового вектора$\vec{k}$и волновой вектор$\vec{K}-\vec{k} = \vec{K}/2 + (\vec{K}/2 - \vec{k}) \approx \vec{K}/2\approx \vec{k}$с$\vec{k} \approx \vec{K}/2$. Теперь с тех пор$\vec{K}-\vec{k} \approx \vec{k}$, состояния, соответствующие этим двум волновым числам, имеют подобные$k^2$, т. е. аналогичная невозмущенная энергия. Но теперь, когда решетка на месте, в общем случае будет какой-то матричный элемент, допускающий переходы между этими состояниями, и поэтому эти энергетические уровни будут расщепляться, даже если они изначально были близки. Энергии рядом$\dfrac{(\vec{K}/2)^2}{2m}$поэтому не достигаются из-за этого расщепления, и поэтому в спектре есть щель. Это полоса пропускания.

Вы можете думать о создании твердого тела, медленно сближая все атомы. По мере их приближения дискретные электронные орбиты начинают сталкиваться друг с другом. Но электроны не могут находиться в одном и том же состоянии, и вы начинаете получать новые состояния, которые представляют собой комбинацию дискретных состояний. текст.) Примечание: у вас есть полосы в изоляторах, где электроны не являются свободными.

Странно, я почти уверен, что правильный ответ будет проголосован внизу. Если я отредактирую это, оно снова переместится в начало строки? Таким образом, размещение атомов в периодическом порядке не гарантирует образования полос. Когда атомы приближаются друг к другу, электроны вынуждены объединяться в зоны, потому что они фермионы и не могут находиться в одном и том же состоянии.

Потому что в твердом состоянии электроны не связаны.

Простой вывод непрерывных полос можно сделать, если вы посмотрите на частицу в ящике ( Википедия ).

Если мы приблизимся к числу бесконечного ящика с бесконечными частицами (и постоянной плотностью), то получим бесконечные состояния, и состояния сближаются по мере того, как энергетическая щель становится равной$L^{-2}$.

Поэтому возникает непрерывная полоса.

Вывод ширины запрещенной зоны немного сложнее. В простом одномерном случае это связано с периодичностью атомов. Глядя на длину волны, которая совпадает с периодичностью кристалла, в основном есть два варианта: тот, где электроны имеют высокую вероятность плотности на атомах, поэтому они имеют более низкую энергию, так как притягиваются. Другая возможность состоит в том, что они имеют более высокую вероятность между атомами. Это энергетически не очень хорошо для них. Итак, мы видим, что у нас есть 2 состояния с одинаковыми$k$-вектор, но с разными энергиями. В этом причина зазора в полосе пропускания.