Интеграл по траекториям Фейнмана и дискретизация по энергии?

Я не уверен, что вы ожидаете от качественных примеров с точки зрения непрофессионала. Амплитуда эволюции во времени от одной точки к другой,

$$\langle x_f|U(T)|x_i\rangle=K(x_f,x_i;T)~,$$ оцениваемый из интеграла по путям, является пропагатором , который для осциллятора оказывается знаменитым ядром Мелера 1866 года : причинной функцией Грина уравнения осциллятора. Не случайно это было доступно за 60 лет до QM. Дело в том, что пропагатор интеграла по путям в основном классический . Как комментирует @Qmechanic, квантование уровней энергии на самом деле является особенностью компактной временной области.

В частности, классическое действие для осциллятора из приведенной выше ссылки на WP составляет

$$\begin{align} S_\text{cl} & = \int_{t_i}^{t_f} \mathcal{L} \,dt = \int_{t_i}^{t_f} \left(\tfrac12 m\dot{x}^2 - \tfrac12 m\omega^2 x^2 \right) \,dt \\[6pt] & = \frac 1 2 m\omega \left( \frac{(x_i^2 + x_f^2) \cos\omega(t_f - t_i) - 2 x_i x_f}{\sin\omega(t_f - t_i)} \right)~. \end{align}$$

Таким образом, пропагатор, вышеуказанная амплитуда, может быть оценена из функционального интеграла как

$$K(x_f, x_i;T) = \Large e^\frac{i S_{cl}}{\hbar} \small ~ \sqrt{ \frac{m\omega}{2\pi i \hbar \sin\omega(t_f - t_i)}}~~,$$ где $T=t_f-t_i$. По сути, это экспонента классического действия с незначительной нормировочной поправкой из-за квантовых флуктуаций, что, тем не менее, не так важно.

• Квантованные уровни энергии уже находятся в дискретных гармониках, обусловленных периодичностью классического действия, сами по себе не обращая внимания на$\hbar$.

Это выражение также равно обычному пропагатору гильбертова пространства в терминах функций Эрмита,

$$\begin{align} K(x_f, x_i;T ) & = \left( \frac{m \omega}{2 \pi i \hbar \sin\omega T } \right)^\frac12 \exp{ \left( \frac{i}{2\hbar} m \omega \frac{ (x_i^2 + x_f^2) \cos \omega T - 2 x_i x_f }{ \sin \omega T } \right) } \\[6pt] & = \sum_{n = 0}^\infty \exp{ \left( - \frac{i E_n T}{\hbar} \right) } \psi_n(x_f) ~\psi_n(x_i)^{*}~, \end{align}$$ с помощью которого вы распространите свою кет на лифчик амплитуды в обычном гильбертовом пространстве (это выражение, которое Мелер суммировал в 1866 году). «дальновидный», формула.

Перепишите это как

$$= \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^\frac12 e^\frac{-i \omega T} 2 \left( 1 - e^{-2 i \omega T} \right)^{-\frac12} \exp{ \left( - \frac{m \omega}{2 \hbar} \left( \left(x_i^2 + x_f^2\right) \frac{ 1 + e^{-2 i \omega T} }{ 1 - e^{- 2 i \omega T}} - \frac{4 x_i x_f e^{-i \omega T}}{1 - e^{ - 2 i \omega T} }\right) \right) }\\ \equiv \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^\frac12 e^\frac{-i \omega T } 2 ~ R(T)~.$$

The $e^{-in\omega T }$Фурье-моды R(T) , затем умножающие этот 0-точечный предфактор энергии, можно сравнить со стандартным разложением резольвенты по собственному состоянию в гильбертовом пространстве, чтобы убедить вас в стандартном квантованном спектре квантового осциллятора,$E_n = \left( n + \tfrac12 \right) \hbar \omega~.$

Здесь, столкнувшись с дискретностью, вам нужно только оценить существенную периодичность системы, ту компактность, которая принуждает вас к гармонической структуре: волнистость системы; и что большая часть этого прослеживается до классического действия в этой (несколько исключительной) квадратичной гамильтоновой парадигме.

В своем учебнике для начальных классов Фейнман и Хиббс прекрасно разобрали это в Probs 2-2, 3-8 (уравнения 2-9,3-59) и «всплеск» в уравнениях (8-12), (8-13). (Они даже идут смехотворно дальше этого, пытаясь заставить вас «увидеть», как ядро ​​Мелера деконструирует себя до полиномов Эрмита, что, на мой взгляд, заходит слишком далеко в запросах вашего типа.) В любом случае, следование простой математике на самом деле менее непонятно. чем резюмировать его в словоблудии «код».

Поскольку это концептуальный вопрос, возможно, на него нужен простой концептуальный ответ:

Интеграл Фейнмана по путям можно представить как интеграл от$e^{iS/ħ}$по всем возможным путям. Обратите внимание$i$в показателе степени, что заставляет подынтегральную функцию быть периодической по отношению к значению S (которое является действительным). Установка вариации интеграла равной нулю выделяет дискретные наборы путей. Я считаю, что это самый простой способ понять дискретность энергетических состояний в осцилляторе (энергия которого тесно связана с S).