Я не понимаю схемный закон Ампера

Ты прав,$\mathbf{B}$является векторной величиной. Кроме того, это зависит от положения$\mathbf{r}$. Поэтому нам нужно написать$\mathbf{B}(\mathbf{r})$.

Магнитное поле вокруг двух проводников с током (с токами, текущими в одном направлении) выглядит так:

_{(картинка из школьной физики - электромагнетизм - силы между токами )}

Обратите особое внимание на то, как магнитное поле в области между двумя проводами очень мало, потому что магнитные вклады от левого и правого провода там почти компенсируют друг друга.

Теперь рассмотрим петлю только вокруг правого провода.

Тогда континуальный интеграл по этой петле

Вот почему мы не можем просто тянуть$\mathbf{B}$из интеграла и написать

Но тем не менее уравнение

Вы можете понять это, разложив магнитное поле$\mathbf{B}(\mathbf{r})$на две части, одна часть создается левым проводом, другая часть создается правым проводом.

Тогда вы можете записать интеграл по путям как

Я просто рассмотрю ваш первый пример; решения этого достаточно, чтобы объяснить другие ваши примеры. Ваша ошибка в том, что$\oint \vec{B} \cdot d\vec{r} \neq \vec{B} \oint d\vec{r}$. Поле из-за тока$I_2$не является постоянным по нарисованной вами петле Ампера. Однако линейный интеграл магнитного поля из-за$I_2$над петлей равен нулю (по закону Ампера).

С другой стороны, верно, что$\oint \vec{B}_1 \cdot d\vec{r} = \vec{B}_1 \oint d\vec{r}$, где$\vec{B}_1$это поле из-за$I_1$, из-за симметрии.

Таким образом, собрав его, напишите$\vec{B}=\vec{B}_1+\vec{B}_2$(полное поле есть сумма полей, обусловленных$I_1$и$I_2$,

Итак, по закону Ампера

$$∮\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0I_1$$

С тех пор я считал его бесконечно длинным проводом, поэтому

$$B\oint dl=\mu_0I_1$$

Это неверный вывод.

Когда этот вывод делается в учебнике при выводе поля B вокруг длинного провода, мы используем симметрию системы (система радиально симметрична относительно оси провода), чтобы вывести вывод из закона Ампера.

В вашем сценарии со вторым проводом такой симметрии нет, поэтому такой вывод сделать не можем.

Мы можем, как указывали другие ответы, использовать этот результат, чтобы найти вклад в поле B от каждого провода, а затем использовать принцип суперпозиции, чтобы суммировать вклады от всех проводов и получить общее поле B в каждой точке.

Вам будет намного легче, если вы возьмете$I_1=0$, то есть сформировать свою «амперову петлю» или «гауссовский дот» в непосредственной близости от тока или заряда, но фактически не содержащих их. Вы утверждаете, что тогда ваш аргумент должен сделать поля идентичными нулю на петле/поверхности.

Как отмечают люди, это не так. Чтобы убедиться в этом, действительно полезно использовать полярные координаты с центром в$I_2$, поэтому ваша петля состоит из одной дуги провода вдоль окружности радиусом$r_1$, прямая радиальная проволока из$r_1$к$r_2$, другая дуга провода в$r_2$под тем же углом$\theta$как оригинал, и еще один прямой радиальный провод от$r_2$вернуться к$r_1$.

Почему это помогает? Поскольку поле, отбрасываемое$I_2$имеет круговую симметрию: здесь он перпендикулярен двум прямым проводам и параллелен двум дугам. Итак, если напряженность поля$B_1$в$r_1$и$B_2$в$r_2$то единственный способ, которым сумма по циклу равна нулю, - это если,

Но, как вы видели,$B\propto 1/r$и это действительно устраивает.

На самом деле, мы бы сказали, что есть эти два поля, которые имеют нулевую завихренность и нулевую дивергенцию, везде, кроме одной линии/точки, где она бесконечна с ограниченным интегралом. В сферических координатах, где$\theta\in[0,2\pi)$азимут/долгота и$\phi\in[0,\pi]$полярно/широтно, это$\hat theta/(r\sin\phi)$и$\hat r/r^2$. Поскольку они имеют эти производные равными нулю за пределами этой линии/точки, петли и доты, которые не содержат эту точку, всегда интегрируются до нуля, а те, которые содержат точку, интегрируются до ненулевых значений. Так что хотя$\hat r/r^2$кажется «расходящимся», важно понимать, что на самом деле он не имеет ненулевой дивергенции нигде, кроме этой одной точки, точно так же, хотя$\hat theta/(r\sin\phi)$кажется, что он «закручивается» вокруг линии, на самом деле он не имеет ненулевого завитка нигде, кроме этой одной линии.

Другой способ выразить все это - аналогия с полями потока жидкости, представьте себе$E,B$как поле скоростей$v$для некоторой жидкости. Если бы у вас было поле течения, соответствующее этим векторным уравнениям,$\hat r/r^2$будет описывать поток, в котором жидкость каким-то образом впрыскивается в эту единственную точку в начале координат и непрерывно выбрасывается наружу до бесконечности сферически симметричным образом. Теперь есть и другие нетривиальные поля с нулевой дивергенцией, которые вы можете понимать как потоки, исходящие из бесконечности, а затем также возвращающиеся в бесконечность: и сказать, что это каким-то образом «единственный основной» закон силы, что « все является кулоновским» (только с переносами, масштабированием, суперпозициями и т. д.) требует наложения граничного условия, согласно которому поля затухают до нуля на бесконечности, чтобы исключить все эти другие потоки. В любом случае, в этой аналогии с потоком жидкости нулевой завихрений теперь означает, что если вы поместите маленькую вертушку в жидкость, она не будет вращаться и, следовательно, не будет вращаться, если у нее есть некоторое внутреннее трение.$\hat\theta$компонента, радиального затухания поля достаточно, чтобы крутящий момент на внешнем крае вертушки идеально уравновешивал крутящий момент на внутреннем крае вертушки, и вертушка не вращалась, если только вы не получите его правильно в этой центральной точке.

Вы правы в том, что магнитные поля складываются как векторы в любой точке пространства. Вы неправильно поняли смысл закона Ампера. Линейный интеграл B — это именно то, что вы предлагаете: интеграл всего результирующего поля, создаваемого всеми токами, независимо от того, находятся ли они внутри или вне контура. Хорошая вещь, выраженная законом Ампера, состоит в том, что этот интеграл зависит только от токов внутри контура. Другими словами, это говорит вам, что петлевой интеграл полей, создаваемых токами вне петель, равен нулю. Но обратите внимание на отличие: не поля этих внешних проводников равны нулю, их интеграл по замкнутомупетля нулевая. С этими пояснениями, я надеюсь, вы сможете увидеть ошибку в ваших примерах с двумя круговыми петлями, имеющими токи в их центрах. Вы предполагаете, что петлевой интеграл равен некоторой константе B, умноженной на периметр круга. Но в этом случае B не является постоянным по контуру, так как имеет две составляющие от двух токов. Цилиндрическая симметрия больше не работает. Вы даже не можете использовать закон Ампера, чтобы найти поле в этой ситуации. Закон Ампера говорит вам только о значениях петлевого интеграла. Но вы не можете найти B только по значению петлевого интеграла. За исключением случаев, когда В вокруг контура постоянна. Которого у вас здесь нет. Таким образом, применение закона Ампера к двум петлям даст два значения интегралов двух петель. Вот и все. Замечание о B в заданной точке (включая вашу точку P). Я предполагаю, что непонимание происходит из-за того, что в классах основное внимание уделяется симметричным примерам, где закон Ампера можно использовать для нахождения поля. Мы пытаемся показать студентам, что закон «полезен».

Ваша путаница связана с выводом магнитного поля из закона Ампера.

Закон Ампера гласит, что линейный интеграл b.dl зависит только от приложенного тока *$\mu_0$

ЭТО ВЕРНО ДЛЯ ЛЮБОГО ПУТИ и ЛЮБОЙ открытой поверхности, прикрепленной к этому пути. Это не обязательно должен быть круг. Поверхность не обязательно должна быть плоской. Это может быть, например, форма сумки.

вывод поля B из закона ампера выглядит следующим образом.

ДЛЯ ОДИНОЧНОГО БЕСКОНЕЧНО ТОНКОГО ПРЯМОГО ТОКА:

$\int B \cdot \vec{dl} = \mu_0 I$

Теперь давайте выберем гауссово кольцо как окружность с центром в начале координат радиуса r.

Вдоль этого КОНКРЕТНОГО кольца

потому что есть единственная точка скручивания, выходящая, например, за пределы страницы. магнитное поле имеет то же направление, что и элемент dl выбранного мною круглого кольца. (если вы понимаете, что такое завиток, вы бы знали, что в этом КОНКРЕТНОМ случае, когда есть линия завитка, указывающая в одном направлении. Поле B ДОЛЖНО делать концентрические круги вокруг точки завитка.

ТАКИМ ОБРАЗОМ$B \cdot \vec{dl}$

Уменьшается до$|B||\vec{dl}|$

Так это значит

$\int |\vec{B} |\vec{dl}| = \mu_0 I$

Вдоль этого ВЫБРАННОГО кольца поле B имеет постоянную величину вдоль этого пути из-за симметрии. таким образом, я могу сказать, что оно не зависит от интеграла, поэтому я могу вывести его за пределы интеграла.

$|\vec{B}| \int |\vec{dl}| = \mu_0 I$

И тогда для моего выбранного кольца Гаусса это сводится к

$|\vec{B}| =\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Обратите внимание, это$|\vec{B}|$поле для точек на моем ВЫБРАННОМ гауссовском кольце. ту же процедуру можно выполнить для кольца, которое, например, находится немного дальше по проводу, и вы получите тот же результат, что означает, что эта формула применяется для всего расстояния R от тока.

в выводе мы предположили, что поле B описывает концентрические окружности вокруг точки завихрения, так что B находится в направлении dl, мы также сделали предположение, что поле B постоянно вдоль этого пути.

для 2 токов магнитное поле определенно НЕ делает концентрические круги вокруг выбранного нами кольца Гаусса. NOR — это константа поля B вокруг этого пути. Это означает, что та же процедура будет недействительной для случая с двумя токами.

Прошло некоторое время с тех пор, как я думал об этом, но я думаю, что закон Ампера, использованный выше, используется для получения магнитного поля, вызванного током источника - замкнутым током. Таким образом, он определяет не полное магнитное поле в области, а только магнитное поле, обусловленное распределением тока в этой области.