Является ли kB→0kB→0k_B \rightarrow 0 классическим пределом стат. мех., как ℏ→0ℏ→0\hbar \rightarrow 0 в QM?

Это два разных предела, в которых две разные константы обнуляются, и результирующая предельная теория имеет разные названия.

Однако оба они являются пределами размерных констант, и аналогия совершенна.

Правильно полученный$\hbar\to 0$Предел квантовомеханической теории есть классическая теория — ее классический предел — в том самом смысле, в котором правильно выведенная$k\to 0$предел законов статистической механики производят законы термодинамики.

Теперь предел$k\to 0$и$N\to \infty$на самом деле означает одно и то же, потому что неявное предположение во всех этих ограничивающих процедурах состоит в том, что макроскопические величины, известные из повседневной жизни, остаются конечными — и по существу фиксированными. Особенно это касается энергии и температуры. Тепловая энергия$N$атомы что-то вроде

$$E=3kTN/2$$ Если оба $E,T$фиксируются, ясно, что $k\to 0$предел - это то же самое, что и $N\to\infty$предел. Термодинамический предел просто означает, что мы пренебрегаем всеми эффектами в системе с фиксированной энергией, которые вызваны конечностью числа атомов или, что то же самое, конечностью (ненулевым значением) вклада одного атома в целое. (что пропорционально $k$).

Можно свободно описывать предел многими способами и в случае квантовой механики. Можно сказать, что классический предел выглядит как$\hbar\to 0$. Но мы можем также сказать, что классический предел возникает, когда$N_J\to \infty$где$N_J=J_z/\hbar$, например. Когда угловой момент (или действие$S$) записывается как кратное$\hbar$, условие безразмерных коэффициентов$N_J\to\infty$это то же самое, что$\hbar\to 0$потому что их продукт является фиксированным. Классическая физика должна пренебречь всеми эффектами, вызванными ситуацией, когда общие величины, описывающие систему, настолько малы, что они сравнимы с$\hbar$(это режим, в котором квантовые явления становятся важными). Опять же, мы сравниваем две вещи, поэтому сказать, что одна из них бесконечно больше другой, — это то же самое, что сказать, что другая бесконечно меньше.

В обеих ситуациях есть много вариантов, что$N$или$N_J$точно может быть. Но в обоих случаях предел обращения размерной константы к нулю, будь то$k$или$\hbar$, эквивалентна некоторым безразмерным числам (тем, которые измеряют, насколько система больше по сравнению со статистическими механическими или квантовыми «базовыми блоками», где более общая теория проявляется во всей своей красе), стремящимися к бесконечности.

Поскольку отношение вероятностей процесса с изменением энтропии и его обращения во времени выглядит как$\exp((S_B-S_A)/k)$, мы видим, что для фиксированного$S_A,S_B$в макроскопических единицах отношение становится строго бесконечным. Так что в термодинамике, т. е. в термодинамическом пределе статистических соображений, убывающая энтропия строго невозможна.

Наконец, позвольте мне упомянуть, что нерелятивистский предел также аналогичен двум указанным выше пределам. Можно сказать, что предел включает$c\to\infty$что явно то же самое, что и$1/c\to 0$: он играет ту же роль, что и$k\to 0$, например. Однако мы можем также сказать, что действительные скорости намного меньше, чем$c$в пределе, так$\beta=v/c\to 0$или$1/\beta\to \infty$. Это аналогично$N\to\infty$или$N_J\to\infty$выше.

Да, когда люди говорят о термодинамическом пределе, они всегда имеют в виду предел большого числа частиц или$N \to \infty$.

Роль$k_B$состоит в том, чтобы связать микроскопические величины и макроскопические термодинамические величины. В ньютоновской механике мы уже очень четко определили импульс и кинетическую энергию. С другой стороны, термодинамика разрабатывается отдельно с такими величинами, как объем, давление и энтропия. Неясно, как эти два набора величин связаны или преобразуются друг в друга, пока люди не найдут постоянную Больцмана.$k_B$. Может показаться немного неожиданным, что только одна константа может связать их все вместе, но это также указывает на то, насколько хорошо они развивают термодинамику.

Одно соотношение - это средняя кинетическая энергия и температура, которые связаны соотношением

$$\frac{1}{2} m \left\langle v^2\right\rangle = \frac{3}{2} k T$$ Сходство между энергией и температурой также можно увидеть в факторе Больцмана: $$p_i = e^{-\frac{E_i}{k_B T}}$$ Другим примером является отношение между энтропией и числом состояний: $$S = k_B \ln(\Omega)$$

Эти соотношения, связывающие термодинамические величины, могут иметь смысл только тогда, когда речь идет о среднем, при котором система может также контактировать с внешней средой. Большое количество частиц или$N\to \infty$, гарантировать, что флуктуация среднего значения имеет порядок$\mathcal{O}(1/\sqrt{N})$из-за центральной предельной теоремы. Следовательно, термодинамические величины могут быть хорошо определены.

Вопрос здесь в том, почему мы не используем напрямую, скажем, число состояний вместо энтропии. Одна из причин заключается в том, что количество может быть непрактично большим. Другая причина заключается в том, что всякий раз, когда мы говорим о термодинамической величине, мы всегда имеем в виду среднюю величину со случайными колебаниями. Это полезно для открытой системы, поскольку она постоянно обменивается теплом и частицами с окружающей средой, но количество энергии, а также частиц не является постоянным.

Все зависит от того, что вы понимаете под статистической механикой и классической термодинамикой. Существует как минимум три версии статистической механики: (1) чисто квантовая версия с матрицами плотности, (2) полуквантовая версия, в которой уровни энергии квантуются, но все остальное является классическим, и (3) чистая классическая статистическая механика. версия, разработанная Больцманом и Гиббсом и которая была отцом как (1), так и (2).

Я не уверен, что вы имеете в виду под классической термодинамикой. Или, точнее, какой может быть неклассическая термодинамика. В общем, все версии статистической механики приводят к результатам термодинамики, пока температура не слишком низка или слишком высока, объем системы намного больше, чем площадь ее поверхности, а количество частиц в системе велика, но не настолько, чтобы числовая плотность ($n/V$) становится слишком большим.

Это лучшее, что я могу сделать. Если вы уточните свой вопрос, люди смогут найти лучший ответ.