Квантовые и классические операторы Лиувилля

В представлении Гейзенберга о квантовой механике для наблюдаемого$\hat{A}$, мы имеем знаменитое уравнение Гейзенберга, определяющее эволюцию оператора во времени: ($\hat{H}$— оператор Гамильтона)

$$i\hbar \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} = -[\hat{H},\hat{A}]$$ Какой из них можно переписать, определив оператор Лиовиля как: $$\hat{L}=\frac{1}{\hbar}[H,.]$$ Таким образом $$\begin{align} \hat{A}(t) = e^{i\hat{L}t}\hat{A}(0) = e^{i\hat{H}t/\hbar}\hat{A}(0)e^{-i\hat{H}t/\hbar} \tag{1} \end{align}$$

Точно так же в классической статистической механике для некоторой классической дифференцируемой переменной$A$имеем уравнение Пуассона: ($H$здесь классический гамильтониан)

$$\frac{\partial A}{\partial t} = \{A,H\}$$ Теперь определяем классический вариант оператора Лиувилля: $$\begin{align} \mathcal{L}:=i\{H,.\}=\sum_{i=1}^n [\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p_i}] \tag{*} \end{align}$$ Таким образом, снова определяя временную эволюцию $A$с соответствующим пропагатором: $$\begin{align} A(t) = e^{i\mathcal{L}t}A(0) \tag{2} \end{align}$$

Вопрос:

• В$(1)$мы смогли еще больше расширить унитарного оператора$e^{i\hat{L}t}$в два унитарных перевода времени, генерируемых$\hat{H}$(прослоение значения оператора во время$t=0$), но глядя на$(2)$, есть ли способ еще больше расширить пропагатор$e^{i\mathcal{L}t}$, с использованием$(*)$, в вид выражения, который был получен в версии QM, а именно уравнение$(1)$?