Происхождение сопряженных переменных в физических теориях

Лучше всего ответить на этот вопрос, рассмотрев ваши предыдущие примеры (положение и импульс) и ваши последние примеры (объем и давление и т. д.) по отдельности. См. этот вопрос , почему я рассматриваю их отдельно.

Первый набор примеров (из гамильтоновой механики) уходит своими корнями в двойственность Понтрягина . Доказательство этой концепции немного подробное, но по существу оно сводится к попытке найти условия, при которых$\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))$эквивалентно$f$в каком-то смысле. Как оказалось, это верно для всех компактных абелевых групп. А также, как это бывает, положение есть дуал Понтрягина к импульсу, и наоборот.

Второй набор примеров (из термодинамики) возникает, когда мы рассматриваем равновесные распределения в термодинамике. В этом случае нет ничего «особенного» в том, что эти переменные идут парами. Например, рассмотрим уравнение внутренней энергии для канонического ансамбля, связывая его с энтропией (S), объемом (V), температурой (T) и давлением (p):

$$\mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V$$ Вы можете видеть, что температура и давление являются просто «константами пропорциональности» изменений энтропии и объема в этом уравнении. Что касается того, почему изменения температуры вызывают изменения энтропии (теплообмена), это связано со вторым законом термодинамики, стремящимся увеличить энтропию системы плюс ванна. Когда систему немного отклоняют от равновесия, например, за счет увеличения $T$ванны на очень небольшое количество, некоторое количество энтропии обменивается, и система снова уравновешивается.

Существует другой вид связи между температурой и теплом, скажем, и положением/импульсом. В то время как обобщенный импульс и положение связаны обратными дифференциальными уравнениями, это не так для температуры и тепла.