Закон Фарадея: интегральные и дифференциальные формы

Давайте рассмотрим как интегральное, так и дифференциальное уравнения, которые выражают закон Фарадея (третье уравнение Максвелла):

∮ ∂ Σ Е ⋅ г л "=" − г г т ∬ Σ Б ⋅ г С

И

∇ × Е "=" − ∂ Б ∂ т

Мне они кажутся немного контрастными. Если мы посмотрим на первый, то увидим, что изменение во времени потока магнитного поля порождает индуцированное напряжение: предположим, что это изменение осуществляется путем изменения поверхности S во времени.

Соответственно ротора Е не будет, так как нет изменения во времени магнитного поля (а только его потока).

Другая ситуация такова: мы меняем во времени S и B, но так, чтобы поток оставался постоянным (например, мы соответственно уменьшаем S и увеличиваем B). В этом случае будет ротор Е, а не индуцированное напряжение.

Где решение?

Пожалуйста, используйте MathJax , а не ссылки на сканы.
Вы читали en.m.wikipedia.org/wiki/Faraday%27s_law_of_induction ? Там есть долгое обсуждение этого. Две формы закона Фарадея, которые вы цитируете, не эквивалентны, если площадь меняется.

Ответы (1)

Я думаю, важно знать, что две формы закона Фарадея математически эквивалентны только тогда, когда поверхность остается постоянной (если поверхность зависит от времени, см. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Faraday%27s_law_of_induction#) . Доказательство ).

Начиная с дифференциальной формы закона Фарадея

∇ × Е "=" − ∂ Б ∂ т
Это местное заявление. Сначала проинтегрируем в обе стороны по произвольной поверхности Σ ,
∫ Σ ∇ × Е ⋅ г а "=" − ∫ Σ ∂ Б ∂ т ⋅ г а
В левой части приведенного выше уравнения мы используем теорему Стокса, ∫ Σ ∇ × Е ⋅ г а "=" ∮ ∂ Σ Е ⋅ г л , где ∂ Σ является границей поверхности. С правой стороны мы утверждаем, что поверхность не меняется со временем, поэтому знак производной можно переместить за пределы знака интеграла; кроме того, интеграл теперь является только функцией времени, поэтому оправдано использование символа полной производной. Итак, мы получаем
∮ ∂ Σ Е ⋅ г л "=" − г г т ∫ Σ Б ⋅ г а
что является интегральной формой закона Фарадея.

@ChiralAnomaly спасибо, что указали на опечатку, я отредактировал свой ответ.
В вопросе конкретно говорится, что площадь может меняться со временем.
@RobJeffries Спасибо, что указали на это, я изменил свой ответ.
Я снова думаю на эту тему. Чего я не понял, так это того, что происходит физически. Если магнитный поток изменится из-за изменения поверхности (в то время как B постоянна во времени), будет индуцированное напряжение. Но будет ли E вращательным или нет? Уравнения Максвелла, кажется, говорят об обратном. Но как физически может существовать наведенное напряжение без наведенного электрического поля?
Закон Фарадея: интегральные и дифференциальные формы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v