Электромагнитные волны, создаваемые синусоидальным током

Скажем, у меня есть колеблющийся синусоидальный ток, протекающий по оси z (скажем,$I_0\sin{\omega t}$), в прямом проводнике. Этот ток создает переменное магнитное поле в азимутальном направлении, которое создает изменяющееся электрическое поле в направлении z, которое создает электромагнитную волну в радиальном направлении. Как можно формально вывести выражение для индуцированных магнитного и электрического полей?

Мой первоначальный ответ состоял в том, что выражение магнитного поля следует из Закона Ампера о Циркуляции, т.е.

$$B = \frac{\mu _o I_o \sin{\omega t}}{2\pi r}$$ в азимутальном направлении. Однако это означает игнорирование$\epsilon _o\frac{\partial E}{\partial t}$часть расширения Максвелла, которая в первую очередь отвечает за электромагнитные волны.

Я пытался вывести волновое уравнение из законов Максвелла, но так как оно не в свободном пространстве и там ненулевая плотность тока, то застрял на

$$\nabla ^2\overrightarrow{E} = \mu_o\epsilon_0 \frac{\partial ^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} + \mu_0 \frac{\partial\overrightarrow{J}}{\partial t}$$

Любая помощь?