Закон Кулона в присутствии сильного гравитационного поля

Конечно, закон Кулона нужно адаптировать! И поэтому хорошо, что существуют явно ковариантные формулировки электромагнетизма , которым все равно, как искривлено пространство-время. Однако сначала мы должны кратко отметить, что закон Кулона не является одним из фундаментальных законов электромагнетизма, хотя он сыграл большую роль в его зарождении:

Закон Кулона — это просто решение уравнений Максвелла для точечного заряда и отсутствия тока в плоском пространстве Минковского. Уравнения Максвелла совместно могут быть обобщены на произвольное пространство-время:

Напряженность электрического поля представляет собой 2-форму$F = \frac{1}{2}F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu \wedge \mathrm{d}x^\nu$в пространстве-времени, а электрический ток представляет собой 3-форму$J = \frac{1}{6}J_{\mu\nu\rho}\mathrm{d}x^\mu \wedge \mathrm{d}x^\nu \wedge \mathrm{d}x^\rho$, как двойственное по Ходжу обычному векторному току. Уравнения Максвелла теперь просто читаются

где, поскольку звезда Ходжа зависит от метрики, кривизна пространства-времени действительно влияет на форму наших законов.

Следует отметить, что в произвольном пространстве-времени идея наличия «отдельных законов» для электрических и магнитных полей больше не имеет смысла, поскольку они смешиваются (почти) произвольным образом, в зависимости от метрики. Вы все еще можете получить электрические и магнитные поля в качестве компонентов$F^{0i}$а также$F^{ij}$напряженности поля, но вы не будете писать для них никаких хороших, независимых от системы отсчета законов. Уравнения Максвелла плохо растворяются в «законе Гаусса», «законе Фарадея» или подобных вещах в общем случае.

Да. Строго говоря, вы не можете применить закон Кулона или вообще любой закон об уменьшении чего-то с расстоянием в искривленном пространстве.

Вместо этого вы должны перейти к полевому формализму. Вы можете рассчитать, как электромагнитное поле распространяется через искривленный фон — в основном вы берете уравнения Максвелла в тензорной форме и заменяете обычные производные ковариантными производными относительно пространственно-временной метрики (подробнее см. Википедию ). Это может привести к тому, что эффективный спад будет слабее или сильнее, чем$1/r^2$в зависимости от конкретных условий, так как линии электромагнитного поля будут искажены из-за кривизны.

Здесь нет необходимости ссылаться на кривизну пространства-времени, чтобы получить какие-то нетривиальные результаты первого порядка, по крайней мере, в слабом гравитационном поле, таком как земное.

В силу принципа эквивалентности однородное гравитационное поле неотличимо от ускоренной системы отсчета. Следовательно, свободно падающий наблюдатель, например, в гравитационном поле Земли, обнаружит, что стационарный заряд имеет то же электромагнитное поле, что и равномерно ускоренный заряд вне гравитационного поля.

Для того, чтобы увидеть то, что увидит неподвижный наблюдатель, достаточно произвести преобразование координат из свободно падающей системы отсчета в неподвижную.

Закон 1/r ² выполняется до тех пор, пока вы готовы переосмыслить, что именно означает «r». 1/r ² должно выполняться по тем же причинам, по которым масса черной дыры не меняется независимо от того, как далеко вы от нее находитесь. Это дело сохранения.

В основном радиальная координата определяется путем измерения площади поверхности сферы вокруг массы (или точечного заряда, или заряженной черной дыры...), а затем r определяется как AreaOfSphere/sqrt (4pi).

Вот в чем разница - чтобы пройти, скажем, от r = 2 км до r = 1 км, вы, как правило, пройдете больше 1 км! Результатом этого является канонический рисунок черной дыры в виде рога.

Ссылка:

... в общем, радиальная координата Шварцшильда 
не точно представляет радиальные расстояния... 
http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_coordinates

В этом разделе на странице википедии есть более подробная информация.

Если вещи несимметричны, как в вопросе, то нужно приспособиться к деформации. Это та же концепция, что и для заряженной черной дыры - закон Колумба работает идеально, поскольку он должен сохранять заряд.