Закон охлаждения Ньютона для граничного условия уравнения теплопроводности

Закон охлаждения Ньютона гласит, что температура тела удовлетворяет

(1) г Т г т "=" − к ( Т ( т ) − Т 0 ) ,

куда Т 0 это температура окружающей среды. См ., например , эти заметки HTML .

Сейчас если ты ( Икс , т ) обозначает температуру изолированного сбоку стержня в точке Икс и время т , то уравнение теплопроводности говорит

∂ ты ∂ т "=" α ∂ 2 ты ∂ Икс 2

Если левый конец Икс "=" 0 подвергается воздействию окружающей среды при температуре Т 0 , во всех книгах по математической физике говорится, что закон охлаждения Ньютона

(2) − с ∂ ты ∂ Икс ( 0 , т ) "=" − к ( ты ( 0 , т ) − Т 0 ) ,

куда с является константой. См. Задачу 5 в предварительном просмотре книги Google « Задачи с граничными значениями: уравнения с частными производными » Дэвида Пауэрса . См. также стр. 131 той же книги. (За три страницы до задачи 5, где впервые появляется закон охлаждения Ньютона.)

Однако по закону охлаждения Ньютона (1) получаем

∂ ты ∂ т ( 0 , т ) "=" − к ( ты ( 0 , т ) − Т 0 ) ,

По уравнению теплопроводности ∂ ты ∂ т "=" α ∂ 2 ты ∂ Икс 2 , делаем вывод, что

(3) α ∂ 2 ты ∂ Икс 2 ( 0 , т ) "=" − к ( ты ( 0 , т ) − Т 0 ) .

Это граничное условие не совпадает с (2). Почему (3) неверно?

В отличие от вашего уравнения (2), ваше уравнение (3) не является граничным условием.
@AmeyJoshi Почему? По определению, «граничное условие» — это условие на границе, требуемой от функции. По этому определению (3) заведомо является «граничным условием».
Часть проблемы здесь - ваш источник для (1). Это не является неправильным само по себе, но использует очень упрощенную модель теплопередачи. В таком случае, к в (2) используется не проводимость, а скорее коэффициент теплопередачи, с . Он рассматривает объект как сосредоточенный (постоянная температура), а не решает теплопередачу внутри него, как это делают последующие уравнения, которые вы использовали. Именно поэтому они использовали обозначение ОДУ ( г / г т ), а не УЧП ( ∂ / ∂ т ).
@ user3823992, вы должны немного уточнить это в ответе; Я думаю, это будет более актуально, чем существующий ответ.

Ответы (1)

Закон охлаждения Ньютона на самом деле исходит из более общего уравнения для теплоты Вопрос передается между системой (температура Т ) и его окружение (температура Т 0 ):

г Вопрос г т знак равно − час А ( Т − Т 0 )
куда А площадь, через которую происходит теплопередача (см., например, здесь ). Для обычного макроскопического объекта, где г Вопрос "=" м с   г Т , получаем обычный закон охлаждения Ньютона в пересчете на температуру:
м с г Т г т знак равно − час А ( Т − Т 0 )
Однако для случая проводящего стержня из закона Фурье:
1 А г Вопрос г т знак равно − к ∂ ты ∂ Икс
Таким образом, граничное условие:
− к ∂ ты ( 0 , т ) ∂ Икс знак равно − час ( ты ( 0 , т ) − Т 0 )

Но это еще не ответ "почему" --- почему нельзя использовать формулу г Вопрос "=" м с г Т для случая бара, чтобы заключить уравнение (3)? То есть предположим, что вы не знали о законе Фурье. Что может помешать вам использовать формулу г Вопрос "=" м с г Т вывести формулу ∂ ты / ∂ т ( 0 , т ) "=" − к ( ты ( 0 , т ) − Т 0 ) ? Разве вы не подумали бы, что эта формула верна, если бы вместо этого вам не сказали использовать закон Фурье?
На границе происходит поступающее тепло (по теплопроводности) Вопрос 1 и передача тепла в окружающую среду Вопрос 2 в единицу времени. При рассмотрении отрезка длины г Икс на границе мы видим, что полезное тепло, поступающее в область, фактически равно г Вопрос "=" Вопрос 1 − Вопрос 2 "=" Вопрос ( г Икс ) − Вопрос ( 0 ) . Именно это способствует изменению температуры, а не только потеря тепла в окружающую среду. Это изменение дается ∂ Вопрос ∂ Икс г Икс пока г Вопрос "=" м с Т ˙ "=" р А с г Икс Т ˙ . Таким образом, мы получаем Т ˙ "=" 1 р А с ∂ Вопрос ∂ Икс . Таким образом, это эквивалентно уравнению теплопроводности...
... с недостающей частью того, что Вопрос на самом деле дается законом Фурье.
Закон охлаждения Ньютона для граничного условия уравнения теплопроводности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v