Значение «физической» и «гравитационной» метрик

Да.

Короткий ответ: у вас есть одно действие, которое вы совершаете, чтобы получить уравнение поля Эйнштейна.$G_{\alpha\beta}=kT_{\alpha\beta}.$Которые вы можете представить как уравнения движения для гравитационной метрики$g_{\alpha\beta}.$(Они определяют вторые производные метрики в терминах полей материи и метрики, а также первые производные метрики.) И у вас есть другое действие, которое вы экстремируете, чтобы получить уравнения движения материи (вместо того, чтобы они двигались по геодезическим в гравитационной метрике). Получается, что есть другая геометрия, которую вы используете, чтобы выяснить, как движется материя.

Чтобы сравнить двухгеометрический подход к GR, я сначала расскажу о том, как обычно используется GR (более подробно, чем вы, возможно, захотите увидеть). Это сделано для контраста и сравнения. Просто пропустите следующий абзац, если то, как обычно практикуется GR, слишком утомительно, и вам нужно двигаться дальше. Я лично не знаю, почему двухгеометрический подход может быть востребован или даже желателен, но если он согласуется с наблюдениями, сделанными до сих пор, я не буду осуждать заранее.

В ОТО доверительные частицы (или пробные частицы) — это частицы с нулевой массой, нулевым спином, нулевым зарядом и т. д., которые каким-то хорошим образом сводят свои пределы к нулю (то есть имеют хорошие отношения и т. д.), так что, когда они не подвержены никаким взаимодействиям, кроме гравитации, они путешествуют по геодезическим линиям в фоновом пространстве-времени, кривизне которого они способствуют. По крайней мере, так любят говорить люди. Трудно даже сделать это достаточно точным, чтобы быть правильным или неправильным, и в природе нет тестовых частиц, поэтому детали никогда не будут проверяться экспериментом. Это наиболее применимо, если вы выполняете GR в пределе гидродинамики для ваших источников материи. Тогда у вас есть жидкий элемент с объемными свойствами, а компоненты внутри элемента могут быть тестовыми частицами как непрерывная плотность материи.

Так что, по крайней мере, это история, вещи движутся по геодезическим, когда это просто гравитация. Но вы могли бы взглянуть на уравнение поля Эйнштейна и решить, что вы хотите, чтобы геометрия пространства-времени развивалась в соответствии с ним, так что$G_{\alpha\beta}=kT_{\alpha\beta}.$Но тогда вы могли бы сказать, что не хотите, чтобы эти пробные частицы двигались по геодезическим. Это ваше право, если вы можете привести его в соответствие с наблюдениями до сих пор.

Таким образом, двухгеометрический подход к формулировке теории гравитации является важной парадигмой. Всякий раз, когда возникает необходимость сформулировать новую теорию гравитации, консервативный способ действовать, чтобы избежать непосредственного конфликта с проверками ОТО, состоит в том, чтобы обратиться к римановой метрике.$g_{\alpha\beta}$, построить из него действие Эйнштейна-Гильберта для динамики геометрии и осуществить отход от стандартной ОТО, задав связь между$g_{\alpha\beta}$и физическая геометрия, по которой распространяется материя. Большинство известных теорий предполагают, что отношение представляет собой простое конформное преобразование.

Затем внизу страницы 4 автор утверждает, что динамика частиц определяется экстремумом

Таким образом, у вас все еще есть метрика, которая делает$G_{\alpha\beta}=kT_{\alpha\beta}$и вы можете думать об этом как об уравнениях движения для гравитационной метрики (той, которая делает$G_{\alpha\beta}$) когда дано$T_{\alpha\beta}.$Но тогда может быть и другая геометрия, для которой$S=\frac{1}{2}\int g_{\alpha\beta}\dot x^\alpha \dot x^\beta F(I,H,\Psi)d\lambda$экстремально, и эта геометрия указывает материи, как двигаться.

Это существенный аспект двухгеометрического подхода. И вы можете сделать так, чтобы свободные безмассовые частицы (настоящие безмассовые, которые были безмассовыми с самого начала, а не доверительные пробные частицы, которые двигались по времениподобным «кривым», даже когда вы делали вид, что принимаете предел отсутствия массы), когда подвергались вторая геометрия для получения динамики будет по-прежнему перемещаться по кривым с нулевыми касательными, которые являются нулевыми в первой геометрии. Но в общем случае пути частиц в двухгеометрической теории не являются геодезическими. Опять же, из той же газеты.

Мы не требуем, чтобы траектории, экстремумирующие S в финслеровой геометрии, совпадали с геодезическими$g_{\alpha\beta}.$В нашем контексте нет физического основания для такого предположения: метрика$g_{\alpha\beta}$предназначена для гравитационных явлений, тогда как финслерова геометрия предназначена для динамики материи.

Итак, одна метрика материи сообщает пространству-времени, как искривляться, а другая — материи, как двигаться. И тогда вы можете вдаваться в подробности о том, как они связаны друг с другом.