Какова мотивация физики для связи Леви-Чивиты на ОТО?

Хотя ссылки в разделах комментариев рекомендуются для тех, кто заинтересован, я попытаюсь предоставить более эвристический аргумент в пользу связи Леви-Чивита. Как утверждает ОП, соединение Леви-Чивита определяется однозначно, требуя метрической совместимости и нулевого кручения:

1. $g_{ij;c} = 0$

2. $v^i{}_{;j}u^j - u^i{}_{;j}v^j = [u,v]$

где$[u,v]$является коммутатором (скобка Ли) двух векторов$u$и$v$. Начнем с первого требования.

1: Физически нет разницы между векторами и ко-векторами; хотя они возникают из разных математических контекстов, оба просто описывают направления в пространстве-времени, и любое направление должно быть одним и тем же, определяется ли оно вектором или ковектором. Поэтому физически разумно требовать, чтобы ковариантные производные вектора$v^i$и ко-вектор$u_i$определяют одно и то же направление (вектор/ковектор) всякий раз, когда$v^i$и$u_i$делать.

Идентификация векторов и ковекторов может быть выполнена с использованием канонической изометрии, индуцированной метрическим тензором, который обычно описывается процессом повышения/понижения индекса:

$$v^i \sim u_i \quad\text{if and only if }\quad v^i = g^{ij}u_j.$$ Пишем ко-вектор $u_i$удовлетворяющий $u_i \sim v^i$как $v_i$. Последняя часть нашего аргумента состоит в том, чтобы позволить соединению касательного расслоения $TM$, индуцируем связность на кокасательном расслоении, $T^*M$. Это делается путем требования, чтобы соединение действовало естественно по отношению к сжатию: $$(v^iu_i)_{;j} = v^i{}_{;j}u_i + v^iu_{i;j}.$$ Комбинируя изометрию и индуцированную связь, находим $$\begin{align} u_{i;j}v^j = \left(g_{ik}u^k\right)_{;j}v^j = g_{ik;j}u^kv^j + g_{ik}u^k{}_{;j}v^j, \end{align}$$ но так как мы, как утверждалось, хотели бы потребовать, чтобы $u^k{}_{;j}v^j \sim u_{k;j}v^j$мы позволим сокращению метрики в последнем члене понизить индекс: $$u_{i;j}v^j = g_{ik;j}u^kv^j + u_{i;j}v^j.$$ Таким образом ясно $g_{ik;j}u^kv^j = 0$, и поскольку это должно выполняться для произвольных векторов $u^k$и $v^j$мы должны иметь $g_{ik;j} \equiv 0$.

2: Дело о кручении сложнее, отсюда и интерес к теории Эйнштейна-Картана. Как видно из ссылок, приведенных в разделе комментариев, ненулевое кручение, безусловно, имело бы измеримые эффекты. Однако, поскольку мы хотели бы представить эвристический аргумент, почему мы изначально решили требовать нулевого кручения, я не могу придумать лучшего способа, чем сравнить ковариантную производную и производную Ли.

Рассмотрим поэтому групповое действие на нашем многообразии такое, что точка$p$переносится в точку$q$:

$$x^\mu_p \mapsto x^\mu_q = x_p^\mu + \lambda v_p^\mu,$$ где $x_p^\mu$обозначим координатные функции при $p$и $v^\mu_p$является вектором в $p$, и $\lambda$очень мал. В конце концов, мы позволим $\lambda \to 0$поскольку мы рассматриваем бесконечно малое групповое действие. Тогда якобиан этого преобразования $J^\mu_\nu$, дан кем-то $$J^\mu_\nu = \delta^\mu_\nu + \lambda v^\mu{}_{,\nu},$$ так что вектор $u^\mu$трансформируется как $$u^\mu\rvert_p \mapsto u^\mu\rvert_q = \widetilde{u}^\mu\rvert_p + \lambda v^\mu{}_{,\nu}\widetilde{u}^\nu\rvert_p,$$ где $\widetilde{u}^\mu$— вектор до преобразования. Таким образом, мы находим $$u^\mu - \widetilde{u}^\mu = u^\mu\rvert_{x_p^\nu + \lambda v^\nu_p} - u^\mu\rvert_{x_p^\nu} - \lambda v^\mu{}_{,\sigma}u^\sigma\rvert_{x_p^\nu},$$ так что $$\lim_{\lambda \to 0} \frac{u^\mu - \widetilde{u}^\mu}{\lambda} = u^\mu{}_{,\sigma}v^\sigma - v^\mu{}_{,\sigma}u^\sigma = [v,u].$$ Первый член в среднем выражении происходит от разницы между непреобразованным вектором в точке $q$к этому в $p$. Если групповое действие можно считать в каком-то смысле «физическим», то, возможно, мы можем согласиться с тем, что результатом должна быть ковариантная производная от $u_\mu$вдоль $v^\sigma$: $$u^\mu{}_{,\sigma}v^\sigma \mapsto u^\mu{}_{;\sigma}v^\sigma.\tag{1}$$ Второй член, с другой стороны, говорит нам, как наша трансформация меняется по мере $u^\sigma$. Опять же, если преобразование можно считать «физическим», возможно, мы можем согласиться с тем, что результатом должна быть ковариантная производная $$v^\mu{}_{,\sigma}u^\sigma \mapsto v^\mu{}_{;\sigma}u^\sigma.\tag{2}$$

Что мы подразумеваем под «физическим» преобразованием выше? Если вы носите с собой набор линеек, определяющих векторы, то изменение по сравнению с тем, если бы вы переносили их параллельно, определяется ковариантной производной, как указано выше. Это представляет$(1)$. С другой стороны, эти линейки, будучи физическими объектами, сами путешествуют в пространстве-времени, и разница между их движением и вашим движением также определяется ковариантной производной в бесконечно малом случае. Это представляет$(2)$. Другими словами, мы рассматриваем изменение между исходным вектором, определяемым линейкой, и вектором, определяемым транспортируемым вектором, с компенсацией физических размеров нашего «вектора»/линейки.

Возможно, вам это знакомо как производная Ли векторного поля, которая априори не является ковариантным выражением. Однако, если принять вышеизложенное в качестве аргумента, почему следует быть, мы можем добиться этого, заменив частные производные на ковариантные производные в соответствии с предписанием принципа эквивалентности, что дает ровно нулевое кручение.

Я не уверен, что мне удалось очень хорошо представить аргумент, и в любом случае он явно не является безупречным. Также может быть уместно рассмотреть эту сторону ненулевого кручения.