Почему мы можем считать, что кручение в ОТО равно нулю?

В стандартных формулировках общей теории относительности это просто предположение теории, разработанное таким образом, чтобы аффинные геодезические, заданные связностью, соответствовали метрическим геодезическим, заданным экстремумом пространственно-временного интервала.

Связность Леви-Чевита является единственной связностью, которая не имеет кручения и совместима с метрикой, но для ОТО необходимо только допущение отсутствия кручения. Через действие Палатини, заданное лагранжианом$\mathscr{L}_G = \sqrt{-g}g^{ab}R_{ab}\text{,}$симметричности коэффициентов связи достаточно, чтобы вывести, что они обязательно

$$\Gamma^a_{bc} = \frac{1}{2}g^{ad}\left[g_{db,c}+g_{dc,b}-g_{bc,d}\right]\text{.}$$ Подход Палатини обсуждается в некоторых вводных учебниках, например, Рэя д'Инверно « Введение в теорию относительности Эйнштейна» и в качестве упражнения в книге Шона Кэрролла « Пространство-время и геометрия » .

Физически предположение об отсутствии кручения позволяет метрике взять на себя роль потенциала для «гравитационного поля» коэффициентов связи.

Но, в конце концов, это всего лишь предположение теории; если вы не принимаете его, вы занимаетесь чем-то другим, например, теорией Эйнштейна-Картана или телепараллельной гравитацией . Интересно, что Эйнштейн говорил о взаимосвязи между соединением и метрикой примерно в то время, когда он работал над телепараллелизмом:

... существенное достижение общей теории относительности, а именно преодоление «жесткого» пространства (т. е. инерциальной системы отсчета), лишь косвенно связано с введением римановой метрики. Непосредственно относящимся к делу концептуальным элементом является «поле смещения» ($\Gamma^l_{ik}$), который выражает бесконечно малое смещение векторов. ... Это позволяет строить тензоры дифференцированием и, следовательно, обходиться без введения «жесткого» пространства (инерциальной системы отсчета). Перед лицом этого кажется второстепенным в каком-то смысле, что какой-то конкретный$\Gamma$поле можно вывести из римановой метрики...

Есть (по крайней мере) два подхода к кручению в геометрической структуре общей теории относительности:

Во-первых, мы можем использовать его для кодирования новой степени свободы теории: связи спина с гравитационным полем. Это теория Эйнштейна-Картана , которая (насколько мне известно) не подтверждается и не исключается данными наблюдений.

Во-вторых, мы можем использовать его для кодирования существующих гравитационных степеней свободы. Между кривизной и кручением существует своего рода калибровочная симметрия . Измерив кручение за 0, мы получим общую теорию относительности, тогда как зафиксировав кривизну за 0, мы получим ее телепараллельный эквивалент.