Окончательная теория в физике: математическое доказательство существования?

Это интересный вопрос, а не вопрос, так как я не уверен, о чем говорится в вопросе, потому что слишком много вопросов ставится под сомнение или вызывает сомнения.

Я думаю, что это другое, но очень связанное с предыдущим вопросом о физической доказуемости тезиса Черча-Тьюринга, утверждающего, что любое вычислительное устройство, которое может быть построено, будет вычислять не больше, чем то, что вычисляет машина Тьюринга.

Одна проблема с тезисом Черча-Тьюринга заключается в том, что концепция доказательства в аксиоматической теории в основе своей совпадает с концепцией компьютерной программы , т. е. машины Тьюринга. Это не в том смысле, что программа может штамповать теоремы и доказательства, как в представлении Рона Маймона доказательства Гёделя , а в том, что программа может быть «прочитана» как доказательство ее спецификации (« Дано значение x такое, что P( x) выполняется, существует результат y такой, что выполняется Q(x,y) "), и, наоборот, доказательство может быть прочитано как программа, которая фактически вычисляет все, что утверждает теорема. Это представление, конечно, является очень упрощенной версией результата Карри и Ховарда (1980), который все еще исследуется.

Следовательно, одна из основных проблем с возможными ограничениями вычислимости, независимо от того, существуют ли такие физические ограничения или нет, и можем ли мы доказать существование таких ограничений, заключается в том, что математические доказательства непосредственно связаны с теми же ограничениями. Одним из важнейших аспектов таких ограничений, о котором я расскажу ниже, является счетная природа интеллектуальных процессов.

Мы можем предположить, мы должны предположить, что наш способ заниматься математикой, включая физические теории, непротиворечив. Это действительно (по крайней мере, для меня) физический взгляд на это: мы находим несоответствия, обычно называемые парадоксами, но они разрешаются (до сих пор были), подобно экспериментальным несоответствиям в физике, путем уточнения теорий и эволюции понятий к преодолевать трудности и правильно формулировать проблемы.

Предположение, что математика по существу непротиворечива, имеет важное значение, потому что все, что мы можем доказать, не должно подвергаться сомнению будущими расширениями, если таковые физически возможны, понятий вычислимости или доказуемости.

Некоторые результаты основаны на глубоких предположениях, интерпретация которых не всегда очевидна. В случае результата Гёделя о неполноте одним из основных аспектов является то, что логические формулы, теоремы и доказательства могут быть закодированы как целые числа. Это означает, что наши системы логического вывода являются счетными сущностями (подобно машинам Тьюринга). Если бы оказалось, что прорыв в физике позволил нам эффективно работать с несчетными системами, то результаты, основанные на этой счетности, оказались бы под вопросом. Это в точности относится к результату Гёделя о неполноте, как указано (возможно, он может вернуться в другой форме).

Я обратился к этому аспекту счетности в своем ответе на вопрос о физической доказуемости тезиса Черча-Тьюринга . В то время этот ответ был полностью основан на моем неформальном понимании этих вопросов. Намереваясь немного улучшить свой ответ, я искал литературу, и в настоящее время эта тема активно исследуется. Хотя мое знание этой литературы остается более чем поверхностным, кажется, что моя интуиция была верна, что правильное обращение с принципиально дискретным (или исчислимым) характером вычислимости и доказуемости имеет важное значение в современном уровне техники для вывода Тезис Черча-Тьюринга из законов физики, и что непрерывность или действительные числа являются серьезной проблемой.

Один подход, который я рассматривал (я ограничен статьями в открытом доступе в Интернете), основан на допущении определенного свойства физического мира, представленного как двойственное ограничение скорости света и информации, которое является ограничением скорости света. пространственная плотность информации, причем оба ограничения вместе обеспечивают ограничение плотности в пространстве-времени. Перевод этого нового закона в физические термины на самом деле может быть тонким для объяснения различных существующих физических законов. Это, по-видимому, исключает нерегулируемое использование реальных чисел.

Если этот ограниченный закон плотности действительно подтвердится, я думаю, это также будет означать, что теорема Гёделя также является следствием физических законов.

Другой вопрос, действительно ли такой ограниченный закон плотности информации проверяется. Если это не так, то остаются открытыми двери для расширения понятий вычислимости и доказуемости.

В таком случае, предполагая, что наша математика непротиворечива в остальном, все доказуемые результаты останутся доказуемыми, но мы могли бы доказать новые теоремы, которые были истинными, но недоказуемыми в классической счетной ситуации.

Таким образом, ответ на вопрос , сможет ли теория Всего обойти теорему Гёделя о неполноте, очень сильно зависит от того, что есть Все , поскольку он фактически определяет контекст, в котором должны быть определены исчислимость или доказуемость. Будет ли теория Всего включать в себя закон, ограничивающий плотность информации.

Обратите внимание, что даже если результат Гёделя верен, может существовать возможность теории Всего, в которой все истинные факты о вселенной действительно будут истинными. Просто вы не смогли бы это доказать (чтобы вселенная хранила какую-то тайну для нас, чтобы гадать в звездных ночах).

С другой стороны, такой теории всего и быть не могло. Но каким было бы окончательное определение теории, если бы физика позволила нам подвергнуть сомнению дискретную природу языка, на котором они выражены?

В остальном, кроме как принять 42 как окончательный ответ, я могу только предложить покинуть матрицу, чтобы узнать Истину о нашем мире, или прочитать Симулакрон-3.

Существует платоническая/пифагорейская точка зрения, согласно которой математика существует в пространстве идей, которое наполняет природа. В этом случае математические доказательства имеют значение и для наблюдений.

С другой стороны, существует мнение, что правильность математических теорий, моделирующих природу, никогда не может быть доказана, они могут быть подтверждены только данными или опровергнуты хотя бы одним данным.

Ответ на ваше резюме зависит от философской ориентации отвечающего.

РЕЗЮМЕ:

1') Существует ли окончательная физическая теория? Вопрос о существовании следует увязывать с какими-то его замечательными свойствами (вероятно).

В какой-то момент, когда я изучал квантовую механику, я принадлежал к платоновской школе: математика — это матрица, которую выполнит природа. После многих лет проведения экспериментов я придерживаюсь второй точки зрения: чем больше мы копаем, тем больше находим того, что не может быть смоделировано новейшей теорией; это бесконечная задача.

2') Как мы могли бы доказать ее существование или опровергнуть ее и, следовательно, доказать, что единственный путь в физике — это бесконечная последовательность все более и более точных теорий или что Поливселенная случайна и/или хаотична на самом фундаментальном уровне?

На мой взгляд, теория никогда не может быть доказана, ее можно только подтвердить данными, поэтому на этот вопрос нет ответа.

3') Как 1') и 2') влияют на теоремы Гёделя?

На мой взгляд, поскольку это открытый поиск математических теорий для описания данных, теорема выполнена.

Моя идея окончательной теории состоит в том, что все возможные экспериментально выполнимые ситуации будут иметь вычисляемый логический ответ из основных принципов. Я не думаю, что это каким-либо образом нарушило бы теорему Гёделя. Например, в любой ситуации планиметрии будет точно вычислимый ответ, в том смысле, что он полный.

Физика предполагает математику. Таким образом, любая «окончательная теория физики» также должна предполагать математику, чтобы иметь эффективность. Следовательно, поскольку эта «Окончательная теория» должна предполагать математику, она не может доказать (или опровергнуть) правильность математики. Точно так же математика предполагает обоснованность логики, поэтому математика не может доказать (или опровергнуть) обоснованность логики. Следовательно, физика не может доказать (или опровергнуть) правильность логики или математики. Поскольку физика не может доказать (или опровергнуть) все метафизические законы (такие как логика или математика), поэтому физика неполна.

Теперь вы могли бы сказать, ба, это просто математика и логика — метафизика, а не физика, что верно, за исключением того, что все физическое обязательно является также и метафизическим, поскольку все, что действительно существует, можно представить существующим. Физика является подмножеством метафизики. Мы можем вообразить многие вещи, даже невозможные вещи, которых на самом деле не существует, но ничто из того, что действительно существует, не может быть «не воображено», независимо от того, переживаем мы это непосредственно или нет. Область всего физического должна быть подмножеством области всего метафизического. Итак, если физика метафизически неполна, она также должна быть неполной физически, поскольку физика является подмножеством метафизики. Следовательно, у нас есть веские основания полагать, что «Окончательная физическая теория» должна быть неполной.

Несмотря на эти очень веские причины полагать, что «Окончательная теория в физике» должна быть неполной, давайте предположим, ради аргумента, что такая теория действительно существовала и была последовательной и полной, противоречащей обеим теоремам Гёделя о неполноте; такая теорема могла бы затем доказать свою собственную непротиворечивость, вопрос стал бы следующим: «Насколько сложными будут доказательства, включающие эту теорему?» Будет ли доказательство непротиворечивости или полноты этой «Окончательной теории физики» NP-полной задачей? Как насчет доказательства как непротиворечивости, так и полноты?

Возможны следующие варианты:

Вариант 1. Существует «окончательная теория физики», которая одновременно непротиворечива и полна.

Хотя мы уже показали, что она не может быть полной, мы предположили обратное. Мы знаем, что в квантовой механике есть физические проблемы, которые являются NP-полными, поэтому, если бы это была окончательная теория и полная, ее доказательство также было бы NP-полной сложной задачей, поскольку доказательство того, что некоторые ее части таковы. Подобные рассуждения показывают, что доказательство ее непротиворечивости также было бы NP-полным, поэтому доказательство полноты и непротиворечивости этой теории выходит за рамки возраста Вселенной.

Вариант 2. Существует непротиворечивая, но неполная «окончательная теория физики» со следующими возможностями:

2.1. Доказательство непротиворечивости этой теории является NP-полной проблемой, поэтому фактически недоказуема (по крайней мере, не в эпоху Вселенной).

2.2. Доказательство непротиворечивости этой теории не является NP-полной задачей и доказуемо за некоторое конечное время.

Глядя на 2.2, мы уже показали, что, поскольку в квантовой механике существуют NP-полные задачи, которые будут частью Окончательной теории, доказательство непротиворечивости теории является NP-полной задачей, что противоречит нашему предположению в 2.2. Так что вариант 2.2 невозможен.

Вариант 3. Существует «окончательная теория физики», полная, но не непротиворечивая.

Поскольку теория в этом варианте не непротиворечива, мы могли бы как доказать, так и опровергнуть ее полноту, противоречие. Любая противоречащая сама себе теория бесполезна как теория. «Окончательная теория» этой опции бесполезна.

Вариант 4. Полной «окончательной теории физики» не существует, но существуют все более и более совершенные совокупные приближения, которые непротиворечивы, но не полны, что дает нам лучшее понимание законов физики с течением времени (я предполагаю, что законы физики универсальны, так как неуниверсальность физических законов — это совсем другая тема).

Что мы можем из этого заключить? Мы можем заключить, что даже если такая непротиворечивая Окончательная Теория существует, будет невозможно доказать, что это «Окончательная Теория», независимо от того, завершена она или нет. Так что на самом деле нет никакого способа узнать, как только мы открыли «Окончательную теорию».