Функциональная производная в лагранжевой теории поля

Question

Функциональная производная в лагранжевой теории поля

Физика
скорость
лагранжев формализм
вариационный принцип
функциональные производные

нервххх

Имеет место следующая функциональная производная:

\begin{aligned} \frac{дельта д (т)}{дельта д (т^{'})} знак равно дельта (т - т^{'}) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta q(t)}{\delta q(t')} ~=~ \delta(t-t') \end{align}$ а также

\begin{aligned} \frac{дельта \dot{д} (т)}{дельта д (т^{'})} знак равно {дельта}^{'} (т - т^{'}) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta \dot{q}(t)}{\delta q(t')} ~=~ \delta'(t-t') \end{align}$ куда

^{'}

$'$ является

d / d t

$d/dt$ .

Вопрос: Что такое

\begin{aligned} \frac{дельта д (т)}{дельта \dot{д} (т^{'})} ? \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta q(t)}{\delta \dot{q}(t')}? \end{align}$ Я спрашиваю об этом, потому что в КТП лектор определил каноническое поле импульса как

ϕ

$\phi$ по

\begin{aligned} π (Икс, т) знак равно \frac{дельта л (т)}{дельта \dot{ф} (Икс, т)}, \end{aligned}

$\begin{align} \pi(x,t) ~:=~ \frac{\delta L(t)}{\delta \dot{\phi}(x,t)}, \end{align}$ куда

L

$L$ есть лагранжиан, функционал поля:

L [ϕ, \partial_{μ} ϕ] = \int d^{d} x L (ϕ, \partial_{μ} ϕ)

$L[\phi,\partial_\mu \phi] = \int d^d x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$ .

Я знаю, что должен получить

\begin{aligned} π (Икс, т) знак равно \frac{\partial л (Икс, т)}{\partial \dot{ф} (Икс, т)} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(x,t) ~=~ \frac{\partial \mathcal{L(x,t)}}{\partial \dot{\phi}(x,t)}. \end{align}$ (Обратите внимание, что теперь это частная производная по плотности Лагранжа.) Но делая это, я получаю:

\begin{aligned} дельта л знак равно \int д^{д} Икс \frac{\partial л}{\partial ф} дельта ф + \frac{\partial л}{\partial \partial_{мю} ф} дельта \partial_{мю} ф . \end{aligned}

$\begin{align} \delta L = \int d^dx \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi} \delta\partial_\mu \phi. \end{align}$ Так что почему-то мы игнорируем первый член

\int d^{d} x \frac{\partial L}{\partial ϕ} δ ϕ

$\int d^dx \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi$ ! Почему это?

Не может быть, что мы лечим $\delta \phi$ а также $\delta \dot{\phi}$ как независимые, потому что если бы я взял функциональную производную по $\phi(x')$ , мне пришлось бы переместить точку из $\delta \dot{\phi}$ к $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}$ что даст мне

\int д^{д} Икс (\frac{\partial л}{\partial ф} - \partial_{мю} \frac{\partial л}{\partial \partial_{мю} ф}) дельта ф

$\int d^dx (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi}) \delta \phi$

т.е. функциональная производная дает уравнения Эйлера-Лагранжа.

Итак, как мне взять функциональную производную функционала от производной функции?

Ответы (2)

Функциональная производная в лагранжевой теории поля

джошфизика · Answer 1

Вопреки вашему утверждению в конце вашего вопроса, я утверждаю, что производная поля по времени рассматривается как «независимый» аргумент лагранжиана. Я попытаюсь убедить вас в этом, показав, как эта независимость приводит к тому, что все работает так, как вы думаете. Некоторые из ключевых моментов находятся в конце, поэтому, пожалуйста, прочитайте полностью, прежде чем поддаваться скептицизму.

Для простоты предположим с самого начала, что мы рассматриваем классическую теорию поля $\phi:\mathbb R^2\to\mathbb R$ . Позволять $\mathcal F$ обозначим множество допустимых полей в этой теории. Обозначим первый аргумент поля через $t$ и второй аргумент с $x$ , поэтому мы пишем $\phi(t,x)$ по-прежнему.

Итак, теперь давайте обратимся к лагранжиану. Чтобы описать это правильно, представьте, что вы берете $x$ аргумент поля в нашей теории фиксирован, то это дает вещественную функцию одной действительной переменной $\phi(\cdot, x):\mathbb R\to\mathbb R$ . Предположим, что $\mathcal G$ обозначает множество таких функций. Тогда лагранжиан можно определить как функционал $L:\mathcal F\times\mathcal F\to\mathcal G$ . Другими словами, он принимает две функции, отображающие $\mathbb R^2\to\mathbb R$ и выводит функцию, которая отображает $\mathbb R\to\mathbb R$ . Мы обозначаем первый аргумент суггестивно как $\phi$ и второй аргумент, наводящий на размышления $\dot \phi$ , но в принципе можно оценить $L$ на любых полях $\phi$ а также $\psi$ что один выбирает и пишет, например $L[\phi, \psi]$ . Я утверждаю, что определения соответствующих функциональных производных таковы:

\begin{aligned} \frac{дельта л}{дельта ф (т, Икс)} [ф, \dot{ф}] (т) & знак равно \underset{ϵ \to 0}{лим} \frac{л [ф + ϵ Δ_{Икс}, \dot{ф}] (т) - л [ф, \dot{ф}] (т)}{ϵ} \\ \frac{дельта л}{дельта \dot{ф} (т, Икс)} [ф, \dot{ф}] (т) & знак равно \underset{ϵ \to 0}{лим} \frac{л [ф, \dot{ф} + ϵ Δ_{Икс}] (т) - л [ф, \dot{ф}] (т)}{ϵ} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta L}{\delta \phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \lim_{\epsilon\to 0}\frac{L[\phi+\epsilon\Delta_x,\dot\phi](t)-L[\phi,\dot\phi](t)}{\epsilon} \\ \frac{\delta L}{\delta \dot\phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \lim_{\epsilon\to 0}\frac{L[\phi,\dot\phi+\epsilon\Delta_x](t)-L[\phi,\dot\phi](t)}{\epsilon} \end{align}$ где я использую обозначение

\begin{aligned} Δ_{Икс} (т, {Икс}^{'}) знак равно дельта ({Икс}^{'} - Икс) \end{aligned}

$\begin{align} \Delta_{x}(t,x') = \delta(x'-x) \end{align}$ Обратите внимание, что это по существу похоже на взятие частных производных, потому что мы варьируем аргументы

L

$L$ независимо.

Теперь предположим, что у нас есть теория, описываемая лагранжевой плотностью, которая является локальной функцией поля и его первых производных. Тогда плотность Лагранжа определяется как функция $\mathscr L:\mathbb R^3\to\mathbb R$ , и поскольку мы ожидаем, что будем подставлять значения поля и его производных в аргументы лагранжевой плотности, мы помечаем три ее аргумента символами $\phi, \dot \phi, \phi'$ . Символы $\dot\phi$ а также $\phi'$ предполагается, что они намекают на то, что аргументы лагранжевой плотности предназначены для оценки значений поля и его производной по времени и пространству. Это, конечно, некоторое злоупотребление обозначениями, поскольку $\phi$ обычно зарезервирован как символ для поля, функция $\mathbb R^2\to\mathbb R$ , а не для значений поля. Но пока мы помним об этом злоупотреблении обозначениями, мы не должны запутаться. Тогда у нас есть

\begin{aligned} л [ф, \dot{ф}] (т) знак равно \int д {Икс}^{'} л (ф (т, {Икс}^{'}), \dot{ф} (т, {Икс}^{'}), ф^{'} (т, {Икс}^{'})) \end{aligned}

$\begin{align} L[\phi, \dot\phi](t) = \int dx' \,\mathscr L(\phi(t,x'), \dot\phi(t,x'), \phi'(t,x')) \end{align}$ Теперь давайте применим определения функциональных производных выше и посмотрим, что у нас получится. Во-первых, у нас есть

\begin{aligned} \frac{дельта л}{дельта \dot{ф} (т, Икс)} [ф, \dot{ф}] (т) & знак равно \underset{ϵ \to 0}{лим} \frac{\int д {Икс}^{'} л (ф (т, {Икс}^{'}), \dot{ф} (т, {Икс}^{'}) + ϵ дельта ({Икс}^{'} - Икс), \partial_{{Икс}^{'}} ф (т, {Икс}^{'})) - \int д {Икс}^{'} л}{ϵ} \\ знак равно \int д {Икс}^{'} \frac{\partial л}{\partial \dot{ф}} (ф (т, {Икс}^{'}), \dot{ф} (т, {Икс}^{'}), ф^{'} (т, {Икс}^{'})) дельта ({Икс}^{'} - Икс) \\ знак равно \frac{\partial л}{\partial \dot{ф}} (ф (т, Икс), \dot{ф} (т, Икс), ф^{'} (т, Икс)) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta L}{\delta \dot\phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \lim_{\epsilon\to0}\frac{\int dx'\,\mathscr{L}(\phi(t,x'),\dot{\phi}(t,x')+\epsilon\delta(x'-x),\partial_{x'}\phi(t,x'))-\int dx'\,\mathscr{L}}{\epsilon} \\ &= \int dx'\,\frac{\partial\mathscr L}{\partial \dot\phi}(\phi(t,x'), \dot\phi(t,x'), \phi'(t,x'))\,\delta(x'-x) \\ &= \frac{\partial\mathscr L}{\partial \dot\phi}(\phi(t,x),\dot\phi(t,x),\phi'(t,x)) \end{align}$ это именно то, что вы сказали, вы должны получить в своем вопросе. Точно так же я предоставляю вам возможность показать, что приведенное выше определение дает

\begin{aligned} \frac{дельта л}{дельта ф (т, Икс)} [ф, \dot{ф}] (т) & знак равно \frac{\partial л}{\partial ф} (ф (т, Икс), \dot{ф} (т, Икс), ф^{'} (т, Икс)) \\ - \frac{\partial}{\partial Икс} [\frac{\partial л}{\partial ф^{'}} (ф (т, Икс), \dot{ф} (т, Икс), ф^{'} (т, Икс))] \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta L}{\delta \phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi}(\phi(t,x),\dot\phi(t,x),\phi'(t,x)) \\ &\hspace{2cm}-\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi'}(\phi(t,x),\dot\phi(t,x),\phi'(t,x))\right] \end{align}$ или, если мы немного ослабим обозначения, поскольку мы знаем, что делаем сейчас, мы можем резюмировать это как

\begin{aligned} \frac{дельта л}{дельта \dot{ф}} знак равно \frac{\partial л}{\partial \dot{ф}}, \frac{дельта л}{дельта ф} знак равно \frac{\partial л}{\partial ф} - \frac{\partial}{\partial Икс} \frac{\partial л}{\partial ф^{'}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta L}{\delta \dot\phi} = \frac{\partial\mathscr L}{\partial\dot\phi}, \qquad \frac{\delta L}{\delta \phi} = \frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi'} \end{align}$ Теперь предположим, что мы хотим получить уравнения Эйлера-Лагранжа. Для этого определим действие для нашей теории как функцию

S : F \to R

$S:\mathcal F\to\mathbb R$ следующим образом:

\begin{aligned} С [ф] знак равно \int д т л [ф, \dot{ф}] (т) \end{aligned}

$\begin{align} S[\phi]=\int dt \,L[\phi, \dot\phi](t) \end{align}$ Обратите внимание, что здесь символ

\dot{ϕ}

$\dot\phi$ обозначает частичную производную поля по времени

ϕ

$\phi$ , а именно

\dot{ϕ} = \partial_{t} ϕ

$\dot\phi = \partial_t\phi$ . Ключевым моментом здесь является то, что, хотя аргументы лагранжиана независимы, у нас всегда есть свобода оценивать аргументы поля и его производной, которые, конечно, не являются независимыми. В частности, это означает, что если мы изменим действие, то в интеграле в правой части мы сможем выполнить такое интегрирование по частям, которое, как вы опасались, мы сделать не сможем. На самом деле, если вы измените действие, то обнаружите, что

\begin{aligned} дельта С [ф] & знак равно \int д т д Икс [\frac{дельта л}{дельта ф} - \frac{\partial}{\partial т} \frac{дельта л}{дельта \dot{ф}}] дельта ф \end{aligned}

$\begin{align} \delta S[\phi] &= \int dt\,dx\,\left[\frac{\delta L}{\delta\phi} - \frac{\partial}{\partial t}\frac{\delta L}{\delta\dot\phi}\right]\delta\phi \end{align}$ таким образом, установив вариацию на ноль и используя результаты, которые я получил выше, используя заявленные определения производных в частных вариациях, мы получаем стандартные уравнения Эйлера-Лагранжа

\begin{aligned} \frac{\partial л}{\partial ф} - \frac{\partial}{\partial т} \frac{\partial л}{\partial \dot{ф}} - \frac{\partial}{\partial Икс} \frac{\partial л}{\partial ф^{'}} знак равно 0. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi} -\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \mathscr L}{\partial \dot\phi} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi'}=0. \end{align}$

@dj_mummy Ну что вы написали в плане $\epsilon$ производные — это стандартный способ определения вариаций, но после того, как определения сделаны, часто гораздо удобнее писать сокращенные символы. Я, конечно, согласен с жалобами на то, что $\delta$ нотация часто приводит к путанице и математической чепухе, но для тех, кто знает точные определения, на мой взгляд, это полезная нотация.
@joshphysics Привет, Джош, спасибо за ответ. В конце концов я понял это сам (после того, как написал, что типично -.-), но в любом случае то, что вы сделали, правильно, но я не думаю, что вы хорошо объяснили, почему изменение в $\phi$ а также $\dot{\phi}$ можно рассматривать как независимые, когда в КМ (не КТП) изменение $q$ а также $\dot{q}$ явно не являются независимыми. Решение состоит в том, что мы определяем канонический импульс, сопряженный с полем, только в один фиксированный момент времени: $\pi(x,t_0)$ . В настоящее время $L = L[\phi(x,t_0), \dot{\phi}(x,t_0), \partial_i \phi(x,t_0)]$ так что в этом снимке времени,
мы можем варьировать поля $\delta \phi$ в какой-то другой фиксированный момент времени, но это также дает мне свободу варьировать скорость движения поля в этот другой фиксированный момент времени, поэтому $\delta \phi(\vec{x}',t')$ а также $\delta \dot{\phi}(\vec{x}',t')$ являются независимыми вариациями. Обратите внимание, что $\delta \partial_i \phi$ не зависит от $\delta \phi$ - потому что дано новое $\phi(\vec{x},t_0)$ в $t_0$ , изменение пространственных градиентов известно, что приводит к интегрированию по частям и уравнениям Эйлера-Лагранжа только в пространственных координатах. В конце концов они приводят к тем же вариациям, которые вы записали
и сделать $\pi$ эволюционировать во времени, в КТП мы эволюционируем операторы обычным способом, воздействуя на него унитарным оператором эволюции во времени: $\pi(x,t) = U(t)^\dagger \pi(x,0) U(t)$ .
@nervxxx Извините, мой ответ не был более проницательным. Пара моментов: неясно, насколько здесь важен квант. Эти вопросы присутствуют в классической механике и классической теории поля. В случае классической механики $q$ а также $\dot q$ рассматриваются как «независимые» в лагранжиане (подумайте о фазовом пространстве), но понятие функциональных производных от $L$ больше не имеет особого значения, поскольку это не интеграл плотности. Однако мы можем брать функциональные производные действия, которое обычно рассматривается как функционал только путей, а не их производных.
, так что в таком случае я согласен, что было бы довольно искусственно усиливать действие $\dot q$ аргумент и взять независимые функциональные производные по $q$ а также $\dot q$ .
@ bgr95 Мне жаль, что я не знаю хорошего справочника по этому поводу. Если вы найдете один, пожалуйста, дайте мне знать.

Qмеханик · Answer 2

Этот ответ можно рассматривать как дополнение к правильному ответу Джошфизики, возможно, подчеркивая немного другие вещи и используя немного другие слова.

Прежде чем определять функциональные/вариационные производные в лагранжевом формализме, важно точно понять, какие переменные независимы друг от друга, а какие нет? Другими словами, какие переменные мы можем свободно варьировать, а какие нет?

Это проще всего понять в точечной механике (PM), см., например, этот пост Phys.SE. Здесь мы сосредоточимся на $n+1$ размерная теория поля (FT) с $n$ пространственное измерение и одно временное измерение.

Предположим для простоты, что существует только одно поле $q$ (которое мы по семантическим причинам будем называть полем позиции). Поле $q$ тогда является функцией $q:\mathbb{R}^{n}\times[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$ . Есть еще поле скоростей. $v:\mathbb{R}^{n}\times[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$ .

I) Пусть дан произвольный, но фиксированный момент времени $t_0\in [t_i,t_f]$ . (Мгновенный) лагранжиан является локальным функционалом

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} л & [д (\cdot, т_{0}), в (\cdot, т_{0}); т_{0}] \\ знак равно & \int д^{н} Икс л (д (Икс, т_{0}), \partial д (Икс, т_{0}), \partial^{2} д (Икс, т_{0}), \dots, \partial^{Н} д (Икс, т_{0}); \\ в (Икс, т_{0}), \partial в (Икс, т_{0}), \partial^{2} в (Икс, т_{0}), \dots, \partial^{Н - 1} в (Икс, т); Икс, т_{0}), \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}L&[q(\cdot,t_0),v(\cdot,t_0);t_0]\cr ~=~&\int \!d^nx~{\cal L}\left(q(x,t_0),\partial q(x,t_0),\partial^2q(x,t_0), \ldots,\partial^Nq(x,t_0);\right. \cr &\left. v(x,t_0),\partial v(x,t_0),\partial^2 v(x,t_0), \ldots,\partial^{N-1} v(x,t); x,t_0\right),\end{align}\tag{1}$

куда $\partial$ обозначает пространственную (в отличие от временной) производную. Здесь $N$ конечно для локального ПФ, и $N\leq 1$ для релятивистского ФП. Лагранжева плотность ${\cal L}$ является функцией переменных, перечисленных в уравнении (1).

(Мгновенный) лагранжиан (1) является функционалом как мгновенного положения $q(\cdot,t_0)$ и мгновенная скорость $v(\cdot,t_0)$ в данный момент $t_0$ . Здесь $q(\cdot,t_0)$ а также $v(\cdot,t_0)$ являются независимыми переменными. Точнее, это независимые (распределенные в пространстве) профили, или, другими словами, независимые функции $\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ над $x$ -пространство. (Мгновенный) лагранжиан (1) в принципе может также явно зависеть от $t_0$ . Заметим, что (мгновенный) лагранжиан (1) не зависит от прошлого $t<t_0$ ни будущее $t>t_0$ .

Таким образом, имеет смысл определить равновременные функциональные дифференцирования как

\frac{дельта д (Икс, т_{0})}{дельта д ({Икс}^{'}, т_{0})} знак равно {дельта}^{н} (Икс - {Икс}^{'}), \frac{дельта в (Икс, т_{0})}{дельта д ({Икс}^{'}, т_{0})} знак равно 0,

$\frac{\delta q(x,t_0)}{\delta q(x^{\prime},t_0)} ~=~\delta^n(x-x^{\prime}), \qquad \frac{\delta v(x,t_0)}{\delta q(x^{\prime},t_0)}~=~0,$

\begin{matrix} (2) & \frac{дельта в (Икс, т_{0})}{дельта в ({Икс}^{'}, т_{0})} знак равно {дельта}^{н} (Икс - {Икс}^{'}), \frac{дельта д (Икс, т_{0})}{дельта в ({Икс}^{'}, т_{0})} знак равно 0. \end{matrix}

$\frac{\delta v(x,t_0)}{\delta v(x^{\prime},t_0)} ~=~\delta^n(x-x^{\prime}),\qquad \frac{\delta q(x,t_0)}{\delta v(x^{\prime},t_0)}~=~0. \tag{2}$

И имеет смысл определить канонический импульс как

\begin{matrix} (3) & п (Икс, т_{0}) знак равно \frac{дельта л [д (\cdot, т_{0}), в (\cdot, т_{0}); т_{0}]}{дельта в (Икс, т_{0})}, \end{matrix}

$p(x,t_0) ~:=~\frac{\delta L[q(\cdot,t_0),v(\cdot,t_0);t_0]}{\delta v(x,t_0)}, \tag{3}$

где неявно подразумевается, что положение $q$ остается фиксированным в дифференцировании скорости (3). в $N\leq 2$ случае теоретико-полевое определение импульса (3) принимает вид

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} п (Икс, т_{0}) знак равно \\ (\frac{\partial}{\partial в (Икс, т_{0})} - \sum_{я знак равно 1}^{н} \frac{д}{д {Икс}^{я}} \frac{\partial}{\partial (\partial_{я} в (Икс, т_{0}))}) \\ л (д (Икс, т_{0}), \partial д (Икс, т_{0}), \partial^{2} д (Икс, т_{0}); в (Икс, т_{0}), \partial в (Икс, т_{0}); Икс, т_{0}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}&p(x,t_0)~=~\cr &\left(\frac{\partial }{\partial v(x,t_0)}- \sum_{i=1}^n\frac{d}{dx^i}\frac{\partial }{\partial (\partial_iv(x,t_0))}\right)\cr &{\cal L}\left(q(x,t_0),\partial q(x,t_0),\partial^2q(x,t_0); v(x,t_0),\partial v(x,t_0);x,t_0\right) .\end{align} \tag{4}$

в $N\leq 1$ случае теоретико-полевое определение импульса (3) становится просто частной производной

\begin{matrix} (5) & п (Икс, т_{0}) знак равно \frac{\partial л (д (Икс, т_{0}), \partial д (Икс, т_{0}); в (Икс, т_{0}); Икс, т_{0})}{\partial в (Икс, т_{0})} . \end{matrix}

$p(x,t_0) ~=~\frac{\partial{\cal L}\left(q(x,t_0),\partial q(x,t_0); v(x,t_0);x,t_0\right) }{\partial v(x,t_0)} .\tag{5}$

II) Наконец, давайте интегрируем со временем $t\in[t_i,t_f]$ . Функционал действия гласит:

\begin{matrix} (6) & С [д] знак равно \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т {л [д (\cdot, т), в (\cdot, т); т] |}_{в знак равно \dot{д}} . \end{matrix}

$S[q]~:=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt~ \left. L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]\right|_{v=\dot{q}}.\tag{6}$

Здесь производная по времени $v=\dot{q}$ зависит от функции $q:\mathbb{R}^{n}\times[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$ .

\begin{matrix} (7) & \frac{дельта д (Икс, т)}{дельта д ({Икс}^{'}, т^{'})} знак равно {дельта}^{н} (Икс - {Икс}^{'}) дельта (т - т^{'}), \end{matrix}

$\frac{\delta q(x,t)}{\delta q(x^{\prime},t^{\prime})} ~=~\delta^n(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), \tag{7}$

\begin{matrix} (8) & \frac{дельта \dot{д} (Икс, т)}{дельта д ({Икс}^{'}, т^{'})} знак равно {дельта}^{н} (Икс - {Икс}^{'}) \frac{д}{д т} дельта (т - т^{'}) \equiv {дельта}^{н} (Икс - {Икс}^{'}) {дельта}^{'} (т - т^{'}) . \end{matrix}

$\frac{\delta \dot{q}(x,t)}{\delta q(x^{\prime},t^{\prime})} ~=~\delta^n(x-x^{\prime})\frac{d}{dt}\delta(t-t^{\prime}) ~\equiv~\delta^n(x-x^{\prime})\delta^{\prime}(t-t^{\prime}). \tag{8}$

В частности, не имеет смысла самостоятельно варьировать wrt. к скорости в действии (6) при фиксированном положении.

См. также соответствующий пост Phys.SE.

Спасибо за правку моего поста, но вы удалили минус в варианте qdot против q. Я включил его снова.
@nervxxx: знак минус во втором уравнении. не должно быть там: $\frac{\delta }{\delta q(t')}\dot{q}(t) =\frac{\delta }{\delta q(t')}\frac{d}{dt}q(t) =\frac{d}{dt}\frac{\delta }{\delta q(t')}q(t)=\frac{d}{dt}\delta(t-t') \equiv \delta'(t-t').$ Этот расчет также можно выполнить более строго, используя тестовые функции и два интегрирования по частям.
Это там. Вы получаете знак минус, когда выполняете интегрирование по частям, чтобы перевести производную от qdot в дельта-функцию.
Да, но есть две интеграции по частям (вперед и обратно).
Что не так с этим аргументом тогда: $\dot{q}(t) = \int \dot{q}(t') \delta(t-t') dt' = -\int q(t') \dot{\delta}(t-t') dt'$ . Варьируется, $\delta\dot{q}(t) = - \int \delta q(t') \dot{\delta}(t-t') dt$ , поэтому функциональная производная от $\dot{q}(t)$ относительно $q(t')$ все, что впереди $\delta q(t')$ под интегралом, который $-\dot{\delta}(t-t')$ . Я вижу, где это идет не так, применяя это к лагранжиану - я не получаю уравнения EL, но у меня есть результат $-\dot{\delta}(t-t')$ дважды написано в моих заметках на занятиях со струнным теоретиком Александром Поляковым! :О
Этот расчет выглядит следующим образом: $\dot{q}(t) = \int \! dt^{\prime} ~\delta(t-t^{\prime}) \dot{q}(t^{\prime}) = \int \! dt^{\prime} ~ \delta(t-t^{\prime}) \frac{d}{dt^{\prime}}q(t^{\prime}) = -\int \! dt^{\prime} ~ q(t^{\prime})\frac{d}{dt^{\prime}} \delta(t-t^{\prime})$ $= \int \! dt^{\prime} ~ q(t^{\prime})\frac{d}{dt} \delta(t-t^{\prime}) \equiv \int \! dt^{\prime} ~q(t')\delta^{\prime}(t-t^{\prime})$ .
Хорошо, спасибо. Похоже, мы оба правы. Я просто не был достаточно осторожен, думая, что означает моя точка. Моя точка $d/dt'$ ...

Функциональная производная в лагранжевой теории поля

нервххх

Ответы (2)

джошфизика

джошфизика

нервххх

нервххх

нервххх

джошфизика

джошфизика

пользователь29978

джошфизика

Qмеханик

нервххх

Qмеханик

нервххх

Qмеханик

нервххх

Qмеханик

нервххх

Действие Эйнштейна и вторые производные

Почему потенциал не зависит от обобщенной скорости?

Учет производных метрического тензора в действии Эйнштейна-Гильберта

Имеет ли значение для уравнений поля дополнительный член с четырьмя расходимостями в лагранжевой плотности?

Изменение члена в лагранжиане

Принцип стационарного действия и уравнение Эйлера-Лагранжа

Изменение действия в зависимости от скорости

Когда числовое значение лагранжиана оценивается на оболочке как полный дифференциал?

Как вывести уравнения Максвелла из электромагнитного лагранжиана?

Теорема Стокса в действии Эйнштейна-Гильберта