Учет производных метрического тензора в действии Эйнштейна-Гильберта

Я ломаю голову над каноническим выводом ОТО из действия Эйнштейна-Гильберта; преобразование вывода в гель с явной обработкой функциональной производной не работает. Итак, вывод (взятый здесь из Википедии, хотя и другая литература аналогична) начинается,

я "=" ∫ − г г 4 Икс [ 1 2 κ р + л ]

и сразу переходит к

дельта я "=" 0 "=" ∫ г 4 Икс дельта г мю ν [ 1 2 κ дельта ( − г р ) дельта г мю ν + дельта ( − г л ) дельта г мю ν ] .

Но скаляр Риччи зависит от первой и второй производных метрического тензора, так почему же у нас нет множителей

дельта г мю ν , α   , дельта г мю ν , α β   ,

против чего мы различаемся, а? Может быть, есть какая-то идентичность, которая в данном случае заставляет эти термины исчезнуть, но я ее не вижу.

Достаточно подробное (и действительно довольно утомительное) рассмотрение см. в книге Кэрролла по ОТО (раздел 4.3).

Ответы (2)

У вас точно есть эти термины. Большинство людей просто всегда неявно интегрируют по частям, а на самом деле они прячут эти термины в других терминах, потому что алгебра очень быстро разлетается на тонны терминов. Очень трудоемкая версия этого разработана в книге «Классическая теория поля» из серии «Ландау и Лифшиц».

В качестве альтернативы вы можете использовать форму вариации Палантини и варьировать символы Кристоффеля, а не метрику.

I) Прежде чем менять действие, вспомним, что плотность лагранжиана Эйнштейна-Гильберта (ЭГ) равна

(1) л Е ЧАС   ∼   − дет ( г ⋅ ⋅ ) { г мю ν   р мю ν ( Г л С , ∂ Г л С ) − 2 Λ }

где Г л С относятся к символам Леви-Чивиты (LC) Кристоффеля , которые, в свою очередь, зависят от производных до первого порядка ∂ г ⋅ ⋅ метрики г мю ν .

По осмотру ур. (1) мы видим, что плотность EH-лагранжиана (1) линейна во вторых производных

(2) л Е ЧАС   "="   Ф мю ν λ о ( г ⋅ ⋅ )   ∂ мю ∂ ν г λ о + Ф ( г ⋅ ⋅ , ∂ г ⋅ ⋅ ) ,

которую мы можем переписать как функцию Ф ( г ⋅ ⋅ , ∂ г ⋅ ⋅ ) который зависит от производных до первого порядка, а также от полного члена дивергенции:

(3) л Е ЧАС   "="   Ф ( г ⋅ ⋅ , ∂ г ⋅ ⋅ ) + г мю [ Ф мю ( г ⋅ ⋅ , ∂ г ⋅ ⋅ ) ] .

Полные члены расходимости в лагранжевой плотности порождают граничные члены в действии. Если мы просто хотим вывести ЭФЭ во внутреннем объеме, вдали от границ, то членами полной дивергенции можно пренебречь. См. также соответствующий пост Phys.SE.

II) Однако полная история сложнее. Имейте в виду, что для последовательного стационарного принципа действия с четко определенными функциональными/вариационными производными необходимо задать соответствующие граничные условия. Это невозможно без добавления граничного члена Гиббонса-Хокинга-Йорка (GHY) к действию EH.

Учет производных метрического тензора в действии Эйнштейна-Гильберта
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v