Изменение члена в лагранжиане

В этом ответе мы просто сделаем общее концептуальное замечание о вариационной / функциональной производной (FD), которая, надеюсь, неявно отвечает на конкретные вопросы OP.

ОП, по-видимому, рассматривает FD «того же пространства-времени»,

$$\tag{A}\frac{\delta {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)}~:=~ \frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\phi^{\alpha} (x)} - d_{\mu} \left(\frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\partial_{\mu}\phi^{\alpha} (x)} \right)+\ldots.$$

[Мы используем символ$d_{\mu}\equiv\frac{d}{d x^{\mu}}$(скорее, чем$\partial_{\mu}\equiv\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$), чтобы подчеркнуть тот факт, что производная$d_{\mu}$является полной производной, которая включает как неявное дифференцирование через переменные поля$\phi^{\alpha}(x)$, и явное дифференцирование относительно.$x^{\mu}$. Многоточие$\ldots$в уравнении (A) обозначает возможные вклады производных пространства-времени более высокого порядка.]

FD «того же пространства-времени» разработан, чтобы дать более короткие обозначения и воспроизвести известную формулу Эйлера-Лагранжа для вариационной / функциональной производной.

Но важно подчеркнуть, что обозначение «одно и то же пространство-время» (A) концептуально вводит в заблуждение: мы не меняем плотность лагранжиана${\cal L}(x)$относительно поле$\phi^{\alpha} (x)$в той же точке пространства-времени$x$, как можно предположить из обозначения (A). Мы действительно варьируем функционал действия $S=\int\! d^ny~{\cal L}(y)$относительно поле$\phi^{\alpha} (x)$.

Для получения дополнительной информации см. также, например, этот и этот посты Phys.SE.

Функциональная производная$\frac{\delta}{\delta \phi}$действует на функционалы , вещи, которые отображают функции в действительные числа. То есть действуют на действия$S$, а не лагранжианы$L$. Я не знаю, откуда вы взяли свой первоначальный вопрос, но здесь действительно должен быть знак минус! В целом, я думаю, вы спрашиваете, почему:

$$\frac{\delta}{\delta \phi} \int d^4x \left(\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi\right) = - \partial^\mu \partial_\mu \phi \ .$$

Есть быстрые формулы, которые вы можете найти, но для понимания я всегда считаю, что проще всего работать с вариацией напрямую. Во-первых, возьмите свой срок$\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi$и сделать трансформацию$\phi \to \phi + \delta \phi$:

$$\begin{align*} \frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi &\to \frac{1}{2} \partial^\mu (\phi+\delta \phi) \partial_\mu (\phi + \delta \phi) \\ &= \frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi + \frac{1}{2} \partial^\mu (\delta \phi) \partial_\mu \phi + \frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu (\delta \phi) + \mathcal{O}(\delta\phi^2) \end{align*}$$

Теперь вы, вероятно, видите, к чему все идет,$1/2$будет учитываться двумя$\delta \phi$термины в расширении. Это действительно просто правило продукта!

Чтобы извлечь$\delta \phi$вы можете интегрировать каждый член по частям, отбрасывая полную производную, потому что это физика, и на границе все равно 0 :)

$$\begin{align*} \delta \int d^4x \left(\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi\right) &= \int d^4 x\left(-\frac{1}{2}\delta \phi \ \partial^\mu \partial_\mu \phi - \frac{1}{2}\partial_\mu\partial^\mu \phi \ \delta \phi + \partial_\mu(\dots) \right )\\ &= \int d^4 x \ \delta \phi \left( -\partial^\mu \partial_\mu \phi \right) \end{align*}$$ Ответ - просто подынтегральная функция, без $\delta \phi$, поэтому, наконец, мы пишем: $$\frac{\delta}{\delta \phi} \int d^4x \left(\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi\right) = - \partial^\mu \partial_\mu \phi \ .$$

В разделе 9.2 Peskin & Schroeder рассматриваются аксиомы функциональной интеграции, если вы хотите увидеть более формальный взгляд на них.