Изменение действия в зависимости от скорости

Вариация действия$S$соответствующий лагранжиану, например$L(x(t),\dot{x}(t))$дает уравнения Эйлера-Лагранжа:

$$\frac{\delta S}{\delta x(t)} = 0 \\ \int du \left ( \frac{\delta L}{\delta x(u)} \frac{\delta x(u)}{\delta x(t)} + \frac{\delta L}{\delta \dot{x}(u)} \frac{\delta \dot{x}(u)}{\delta x(t)} \right ) = 0 \\ \int du \left ( \frac{\delta L}{\delta x(u)} \delta(t-u) + \frac{\delta L}{\delta \dot{x}(u)} \frac{\delta \dot{x}(u)}{\delta x(t)} \right ) = 0 \\ \dots \\ \frac{\delta L}{\delta x} - \frac{d}{dt} \frac{\delta L}{\delta \dot{x}} = 0$$

где в$\dots$выполняем интегрирование по частям на нужный член.

Что произойдет, если мы изменим действие по скорости? Есть ли в этом физический смысл? Какое уравнение получится?

Некоторые попытки:

$$\frac{\delta S}{\delta \dot{x}(t)} = 0 \\ \int du \left ( \frac{\delta L}{\delta x(u)} \frac{\delta x(u)}{\delta \dot{x}(t)} + \frac{\delta L}{\delta \dot{x}(u)} \delta(t-u) \right ) = 0 \\ \int du \frac{\delta L}{\delta x(u)} \frac{\delta x(u)}{\delta \dot{x}(t)} + \frac{\delta L}{\delta \dot{x}(t)} = 0 \\ $$

Сейчас:

$$x(u) = \int du \; \frac{\partial x}{\partial u} \\ \frac{\delta x(u)}{\delta \dot{x}(t)} = \int du \; \delta (u-t) = 1$$

если правда дает

$$\int du \; \frac{\delta L}{\delta x(u)} + \frac{\delta L}{\delta \dot{x}(t)} = 0$$

Можно ли это еще упростить? Или, в качестве альтернативы, могу ли я рассказать$\delta S / \delta \dot{x}$к$\delta S / \delta x$?