Как может Шварцшильдов радиус Вселенной быть 13,7 миллиардов световых лет?

Во-первых, следует отметить, что Вселенная в целом не описывается метрикой Шварцшильда, поэтому радиус Шварцшильда Вселенной является бессмысленным понятием. Однако, если вы возьмете массу наблюдаемой Вселенной, вы можете спросить, каков радиус Шварцшильда черной дыры этой массы.

Для массы$M$радиус Шварцшильда:

$$r_s = \frac{2GM}{c^2} \tag{1}$$

Если радиус наблюдаемой Вселенной$R$, а плотность$\rho$, то масса:

$$M = \tfrac{4}{3}\pi R^3 \rho$$

и мы можем подставить в уравнение (1), чтобы получить:

$$r_s = \frac{8G}{3c^2} \pi R^3 \rho \tag{2}$$

Теперь мы полагаем, что плотность Вселенной является критической плотностью, и из метрики FLRW, немного натянув волосы, мы можем получить значение критической плотности:

$$\rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}$$

И мы можем заменить$\rho$в уравнении (2), чтобы получить:

$$r_s = \frac{H^2}{c^2} R^3 \tag{3}$$

Теперь закон Хаббла говорит, что скорость удаленного объекта связана с его расстоянием$r$к:

$$v \approx Hr$$

и так как край вселенной,$r_e$, где скорость рецессии$c$мы получаем:

$$r_e \approx \frac{c}{H}$$

и подстановка этого в уравнение (3) дает;

$$r_s = \frac{1}{r_e^2} R^3 \tag{4}$$

Если$r_e = R$тогда у нас останется$r_s = R$и мы бы показали, что радиус Шварцшильда массы наблюдаемой Вселенной равен ее радиусу. К сожалению, это не совсем работает. Размер$R$- текущий размер наблюдаемой Вселенной, который составляет около 46,6 миллиардов световых лет, в то время как размер, используемый в законе Хаббла,$r_e$, текущий видимый размер 13,7 миллиардов световых лет.

Если я возьму уравнение (3) и подставлю$R$= 46,6 миллиарда световых лет и$H$= 68 км/сек/мегапарсек. Я получаю$r_s$быть около 500 миллиардов световых лет или намного больше, чем размер наблюдаемой Вселенной.