Как рассчитать дельта-v, необходимую для перехода Хомана от планеты к планете?

Вот примерное, но достаточно точное решение. Это предполагает, что орбита вокруг вылетающего тела совмещена с исходящей асимптотой орбиты Гомана, что является стандартной практикой при выводе космического корабля на парковочную орбиту с помощью ракеты-носителя перед его маневром ухода. Это также предполагает, что орбиты тел вокруг Солнца круговые и компланарные. Это довольно близко для планет (как они определены в настоящее время) относительно нашего Солнца.

Мы также будем предполагать мгновенные маневры, что является хорошим приближением для химических ракет и что следует из использования решения Хомана. Передача будет совершенно другой для систем с малой тягой.

The $\Delta V$можно определить повторным применением этого уравнения, которое просто говорит, что полная энергия является суммой кинетической энергии и потенциальной энергии:

$\mathcal{E}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}$

куда$\mathcal{E}$- полная энергия на единицу массы объекта или «удельная энергия»,$v$- скорость объекта в текущем положении,$\mu$- GM центрального тела, т.е. гравитационная постоянная Ньютона, умноженная на его массу, и$r$- текущее расстояние от центра центрального тела.

Суть в том, что полная энергия объекта есть константа движения по орбите.

Мы также будем использовать тот факт, что орбиты являются эллипсами, и это уравнение, которое определяет, что постоянная движения от апсид орбиты, т. е. радиусов ближайшей и самой дальней точек орбиты,$r_1$а также$r_2$:

$\mathcal{E}=-{\mu\over r_1+r_2}$

Для этой задачи мы определяем:

$\mu_S$= ГМ Солнца.
$\mu_1$= GM кузова отправления.
$\mu_2$= GM тела прибытия.
$r_1$= радиус орбиты вылетающего тела вокруг Солнца, предполагаемой круговой.
$r_2$= радиус орбиты тела прибытия вокруг Солнца, предполагаемой круговой.
$a_1$= радиус круговой орбиты космического корабля вокруг вылетающего тела.
$a_2$= радиус круговой орбиты космического корабля вокруг прилетающего тела.

Переходная орбита Хомана имеет апсиды$r_1$а также$r_2$. Значит, его удельная энергия:

$\mathcal{E}_H=-{\mu_S\over r_1+r_2}$

Затем мы вычисляем скорость этой орбиты в$r_1$:

$\mathcal{E}_H=-{\mu_S\over r_1+r_2}=\frac{v_{H1}^2}{2}-\frac{\mu_S}{r_1}$

который дает:

$v_{H1}=\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}$

Для круговой орбиты вылетающего тела вокруг Солнца имеем его скорость относительно Солнца:

$-{\mu_S\over 2r_1}={v_1^2\over 2}-{\mu_S\over r_1}$

или же:

$v_1=\sqrt{\mu_S\over r_1}$

Геометрия диктует, что скорость переходной орбиты Хомана в перицентре находится в том же направлении, что и скорость вылетающего тела, и они находятся на одном радиусе от Солнца. Таким образом, изменение скорости от круговой орбиты вылета до переходной орбиты Хомана - это просто разница (это будет возведено в квадрат позже, поэтому знак не имеет значения):

$v_{T1}=v_{H1}-v_1=\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_1}$

Это изменение скорости для перехода с орбиты вылетающего тела на переходную орбиту Хомана, но без присутствия вылетающего тела. Чтобы выполнить маневр с круговой орбиты вокруг тела, мы будем использовать коническое приближение с заплатками, в котором нам нужна скорость выхода из тела, равная этой скорости переноса. Здесь важна плоскость орбиты вокруг тела, поскольку она должна совпадать с направлением скорости переноса, чтобы свести к минимуму$\Delta V$. В данном случае это плоскость, разделяемая орбитами двух тел.

Удельная энергия сбежавшего объекта, достаточно далекого от тела (где достаточность лежит в основе приближения заплатанной коники), представляет собой уравнение энергии, в котором второй член стремится к нулю по мере того, как расстояние приближается к бесконечности:

$\mathcal{E_{escape}}=\frac{v_{\infty}^2}{2}$

Теперь, чтобы получить изменение скорости этого убегания и впрыска в передачу Хомана, мы берем разность между скоростью этой убегающей энергии на радиусе орбиты космического корабля вокруг вылетающего тела и орбитальной скоростью космического корабля:

$\frac{v_{T1}^2}{2}=\frac{v_{escape}^2}{2}-\frac{\mu_1}{a_1}$

$v_{escape}=\sqrt{v_{T1}^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}$

$v_{orbit}=\sqrt{\mu_1\over a_1}$

$v_{inject}=v_{escape}-v_{orbit}=\sqrt{v_{T1}^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}$

$v_{inject}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_1}\right)^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}$

Это фактическое$\Delta V$требуется космическому кораблю для перехода непосредственно с круговой орбиты вокруг вылетающего тела на переходную орбиту Гомана за один мгновенный маневр.

Мы можем повторить все это для выведения на орбиту прибытия, чтобы получить:

$v_{insert}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_1}{r_2(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_2}\right)^2+\frac{2\mu_2}{a_2}}-\sqrt{\mu_2\over a_2}$

Общая$\Delta V$является суммой двух маневров:

$\Delta V=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_1}\right)^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}+\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_1}{r_2(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_2}\right)^2+\frac{2\mu_2}{a_2}}-\sqrt{\mu_2\over a_2}$

или немного упростить:

$\Delta V=\sqrt{{\mu_S\over r_1}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1\right)^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}+\sqrt{{\mu_S\over r_2}\left(\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}-1\right)^2+\frac{2\mu_2}{a_2}}-\sqrt{\mu_2\over a_2}$

Для проблемы n тел не существует решения в закрытой форме, поэтому вы, вероятно, начнете с использования подхода с заплатками-конусами. Это будет рассматривать траекторию как простой переход Хомана между сферами влияния (при условии, что ваши тела находятся на копланарных орбитах). Дельта-v для переноса Хомана хорошо известна. К этому вы добавите (вычтете) дельта-v для "заплатанных" траекторий внутри сфер влияния тел, которые разрешимы для двух (n=2) тел.

На этом этапе вам, вероятно, понадобится уточненный ответ, особенно если вы собираетесь участвовать в этой миссии. Это означает, что вам нужно будет выполнить некоторое численное интегрирование с вашей аппроксимацией заплатанного конуса в качестве отправной точки.

Удачи, и не забудьте взять достаточно еды!

Atomic Rockets — еще один отличный источник. Объяснения простым языком с хорошей графикой и достаточной математикой, чтобы быть полезными. «Ракетно-космические технологии» еще лучше для технически подкованных — в основном онлайн-учебник с практическими задачами.