Какая симметрия обеспечивает сохранение вектора Рунге-Ленца?

1. Гамильтонова проблема. Проблема Кеплера имеет гамильтониан

   $$\begin{align} H~=~&T+V, \cr T~:=~& \frac{p^2}{2m}, \cr V~:=~& -\frac{k}{q}, \end{align}\tag{1}$$ куда$m$- приведенная масса 2-тела. Вектор Лапласа – Рунге – Ленца равен (с точностью до несущественной нормализации) $$\begin{align} A^j ~:=~&a^j + km\frac{q^j}{q}, \cr a^j~:=~&({\bf L} \times {\bf p})^j\cr ~=~&{\bf q}\cdot{\bf p}~p^j- p^2~q^j, \cr \cr {\bf L}~:=~& {\bf q} \times {\bf p}.\end{align} \tag{2}$$

2. Действие. Гамильтонов лагранжиан

   $$L_H~:=~ \dot{\bf q}\cdot{\bf p} - H,\tag{3}$$ и действие $$S[{\bf q},{\bf p}]~=~ \int {\rm d}t~L_H .\tag{4}$$ Ненулевые фундаментальные канонические скобки Пуассона $$\{ q^i , p^j\}~=~ \delta^{ij}. \tag{5}$$

3. Обратная теорема Нётер. В общем случае в гамильтоновой формулировке при заданной константе движения$Q$, то бесконечно малая вариация

   $$\delta ~=~ -\varepsilon \{Q,\cdot\}\tag{6}$$ представляет собой глобальную симметрию действия вне оболочки$S$(по модулю граничных членов). Здесь$\varepsilon$является бесконечно малым глобальным параметром, и$X_Q=\{Q,\cdot\}$является гамильтоновым векторным полем с гамильтоновой образующей$Q$. Полный нётеровский заряд равен$Q$см., например, мой ответ на этот вопрос . (Слова « на оболочке» и « вне оболочки » относятся к тому, удовлетворяются ли уравнения движения или нет. Минус является условным.)

4. Вариация. Проверим, что три компоненты Лапласа–Рунге–Ленца$A^j$являются гамильтоновыми образующими трех непрерывных глобальных симметрий вне оболочки действия$S$. В частности, бесконечно малые вариации$\delta= \varepsilon_j \{A^j,\cdot\}$читать

   $$\begin{align} \delta q^i ~=~& \varepsilon_j \{A^j,q^i\} , \cr \{A^j,q^i\} ~=~& 2 p^i q^j - q^i p^j - {\bf q}\cdot{\bf p}~\delta^{ij}, \cr \delta p^i ~=~& \varepsilon_j \{A^j,p^i\} , \cr \{A^j,p^i\}~=~& p^i p^j - p^2~\delta^{ij} +km\left(\frac{\delta^{ij}}{q}- \frac{q^i q^j}{q^3}\right), \cr \delta t ~=~&0,\end{align} \tag{7}$$ куда$\varepsilon_j$три бесконечно малых параметра.

5. Обратите внимание на то, что позже

   $${\bf q}\cdot\delta {\bf q}~=~\varepsilon_j({\bf q}\cdot{\bf p}~q^j - q^2~p^j), \tag{8}$$ $$\begin{align} {\bf p}\cdot\delta {\bf p} ~=~&\varepsilon_j km(\frac{p^j}{q}-\frac{{\bf q}\cdot{\bf p}~q^j}{q^3})\cr ~=~& -\frac{km}{q^3}{\bf q}\cdot\delta {\bf q},\end{align} \tag{9}$$ $$\begin{align} {\bf q}\cdot\delta {\bf p}~=~&\varepsilon_j({\bf q}\cdot{\bf p}~p^j - p^2~q^j )\cr ~=~&\varepsilon_j a^j, \end{align} \tag{10}$$ $$\begin{align} {\bf p}\cdot\delta {\bf q}~=~&2\varepsilon_j( p^2~q^j - {\bf q}\cdot{\bf p}~p^j)\cr ~=~&-2\varepsilon_j a^j~.\end{align} \tag{11}$$

6. Гамильтониан инвариантен

   $$\delta H ~=~ \frac{1}{m}{\bf p}\cdot\delta {\bf p} + \frac{k}{q^3}{\bf q}\cdot\delta {\bf q}~=~0, \tag{12}$$ показывая, что вектор Лапласа – Рунге – Ленца$A^j$классически постоянная движения $$\frac{dA^j}{dt} ~\approx~ \{ A^j, H\}+\frac{\partial A^j}{\partial t} ~=~ 0.\tag{13}$$
   (Мы будем использовать$\approx$знак, чтобы подчеркнуть, что уравнение является уравнением на оболочке.)

7. Вариация гамильтониана лагранжиана$L_H$является полной производной по времени

   $$\begin{align} \delta L_H ~=~& \delta (\dot{\bf q}\cdot{\bf p}) \cr ~=~& \dot{\bf q}\cdot\delta {\bf p} - \dot{\bf p}\cdot\delta {\bf q} + \frac{d({\bf p}\cdot\delta {\bf q})}{dt} \cr ~=~& \varepsilon_j\left( \dot{\bf q}\cdot{\bf p}~p^j - p^2~\dot{q}^j + km\left( \frac{\dot{q}^j}{q} - \frac{{\bf q} \cdot \dot{\bf q}~q^j}{q^3}\right)\right) \cr ~-~&\varepsilon_j\left(2 \dot{\bf p}\cdot{\bf p}~q^j - \dot{\bf p}\cdot{\bf q}~p^j- {\bf p}\cdot{\bf q}~\dot{p}^j \right) - 2\varepsilon_j\frac{da^j}{dt}\cr ~=~&\varepsilon_j\frac{df^j}{dt}, \cr f^j ~:=~& A^j-2a^j, \end{align} \tag{14}$$ отсюда и действие$S$инвариантно вне оболочки с точностью до граничных условий.

8. Нётер заряд. Голый нётеровский заряд $Q_{(0)}^j$является

   $$\begin{align} Q_{(0)}^j~:=~& \frac{\partial L_H}{\partial \dot{q}^i} \{A^j,q^i\}+\frac{\partial L_H}{\partial \dot{p}^i} \{A^j,p^i\} \cr ~=~& p^i\{A^j,q^i\}\cr ~=~& -2a^j.\end{align} \tag{15}$$ Полный заряд Нётера$Q^j$(который учитывает полную производную по времени) становится (минус) вектором Лапласа – Рунге – Ленца $$\begin{align} Q^j~:=~&Q_{(0)}^j-f^j\cr ~=~& -2a^j-(A^j-2a^j)\cr ~=~& -A^j.\end{align}\tag{16}$$ $Q^j$сохраняется на скорлупе $$\frac{dQ^j}{dt} ~\approx~ 0,\tag{17}$$
   по первой теореме Нётер . Здесь$j$является индексом, который помечает три симметрии.

9. Лагранжева задача. Задача Кеплера имеет лагранжиан

   $$\begin{align} L~=~&T-V, \cr T~:=~& \frac{m}{2}\dot{q}^2, \cr V~:=~& -\frac{k}{q}. \end{align} \tag{18}$$ Лагранжев импульс равен $${\bf p}~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{\bf q}}~=~m\dot{\bf q} \tag{19} .$$ Спроецируем преобразование инфинитезимальной симметрии (7) на лагранжево конфигурационное пространство $$\begin{align} \delta q^i ~=~& \varepsilon_j m \left( 2 \dot{q}^i q^j - q^i \dot{q}^j - {\bf q}\cdot\dot{\bf q}~\delta^{ij}\right), \cr \delta t ~=~&0.\end{align}\tag{20}$$ Было бы трудно угадать инфинитезимальное преобразование симметрии (20) без использования соответствующей гамильтоновой формулировки (7). Но как только мы это узнаем, мы можем действовать в рамках лагранжевого формализма. Вариация лагранжиана есть полная производная по времени $$\begin{align} \delta L~=~&\varepsilon_j\frac{df^j}{dt}, \cr f_j~:=~& m\left(m\dot{q}^2q^j- m{\bf q}\cdot\dot{\bf q}~\dot{q}^j +k \frac{q^j}{q}\right)\cr ~=~&A^j-2 a^j . \end{align}\tag{21}$$ Голый нётеровский заряд $Q_{(0)}^j$снова $$Q_{(0)}^j~:=~2m^2\left(\dot{q}^2q^j- {\bf q}\cdot\dot{\bf q}~\dot{q}^j\right) ~=~-2a^j . \tag{22}$$ Полный заряд Нётера$Q^j$становится (минус) вектором Лапласа – Рунге – Ленца $$\begin{align} Q^j~:=~&Q_{(0)}^j-f^j \cr ~=~& -2a^j-(A^j-2a^j)\cr ~=~& -A^j,\end{align}\tag{23}$$ аналогично гамильтоновой формулировке (16).

В то время как второй закон Кеплера - это просто утверждение о сохранении углового момента (и как таковое, он справедлив для всех систем, описываемых центральными силами), первый и третий законы являются особыми и связаны с уникальной формой ньютоновского потенциала.$-k/r$. В частности, теорема Бертрана гарантирует, что только ньютоновский потенциал и гармонический потенциал$kr^2$порождают замкнутые орбиты (отсутствие прецессии). Естественно думать, что это должно быть связано с какой-то симметрией задачи. На самом деле особая симметрия ньютоновского потенциала точно описывается сохранением вектора RL (можно показать, что вектор RL сохраняется тогда и только тогда, когда потенциал центральный и ньютоновский). Это, в свою очередь, обусловлено более общей симметрией: если сохранение углового момента связано с группой специальных ортогональных преобразований в трехмерном пространстве$SO(3)$, сохранение вектора RL должно быть связано с 6-мерной группой симметрий, так как в этом случае, по-видимому, имеется шесть сохраняющихся величин (3 компоненты$L$и 3 компонента$\mathcal A$). В случае связанных орбит эта группа$SO(4)$, группа вращений в 4-мерном пространстве.

Просто чтобы исправить обозначения, вектор RL:

Вычислите его полную производную:

Используйте символ Леви-Чивиты, чтобы развить крестообразные термины:

Окончательно:

Теперь, если потенциал$U=U(r)$является центральным:

так

Замена обратно:

Теперь вы видите, что если$U$имеет точно ньютоновскую форму, то первая скобка равна нулю, и поэтому вектор RL сохраняется.

Может быть, есть какой-то более изящный способ увидеть это (скобки Пуассона?), но это все равно работает.

Симметрия является примером открытой симметрии, то есть группы симметрии, которая меняется от орбиты группового действия к орбите. Для связанных траекторий это SO (4). Для параболических это SE(3). Для гиперболических это SO (3,1). Такие случаи лучше обрабатываются группоидами.

Сохранение вектора Рунге-Ленца не соответствует симметрии самого лагранжиана. Он возникает из-за инвариантности интеграла лагранжиана по времени, классического интеграла действия. Некоторое время назад я написал вывод сохраняющегося вектора для любого сферически-симметричного потенциала:

http://analyticphysics.com/Вектор Рунге/Симметрия, соответствующая вектору Рунге.htm

Вывод находится на уровне Гольдштейна и призван заполнить пробел, образовавшийся из-за его отсутствия в текстах по классической механике для выпускников.

(Этот пост может быть старым, но мы можем добавить некоторые уточнения) Сохранение вектора RL не пустяк, это связано с тем, что вы рассматриваете центральную силу, ведущую здесь ньютоновский потенциал$\frac{1}{r}$обладающий свойством быть инвариантным относительно вращений (как$\frac{1}{r^n}$но это работает только для$n=1$как показано @quark1245).

Следовательно, S0(3), который имеет не 6 сохраняющихся величин, как было сказано ранее, а 3, 3 генератора симметрии$J_i$, i=1..3 такие, что преобразование симметрии при бесконечно малом изменении$x \rightarrow x + \epsilon$дается в каноническом формализме выражением

Перед их переопределением, как показано в Википедии, чтобы увидеть, что предыдущая алгебра выполнена, генераторы вращений: один - угловой момент$L$что показывает, что движение плоское, поэтому инвариантно при вращении вокруг$L$, один - это вектор RL, который находится в плане, поэтому перпендикулярен$L$и параллельна большой оси эллипса, а третья имеет имя, которое я не помню, но она параллельна малой оси.

Мы можем видеть, что у них всего 3 степени свободы, если мы имеем место в референциальном так, что$\vec{J}_1 = \vec{L} = (0,0,L_z)$, то планарные образующие$A = (A_x,0,0)$а также$B = (0,B_y,0)$.

Было показано, что их можно построить из тензоров Киллинга-Яно (что означает симметрию), и это работает также при размерностях больше 3. Хороший обзор о выводе вектора LRL можно найти в HeckmanVanHaalten.

Глядя на https://arxiv.org/abs/1207.5001 , можно найти очень хорошее решение. Если кто-то не очень увлечен математикой, их основная идея состоит в том, чтобы использовать бесконечно малые преобразования

Следовательно, изменение действия равно

РЕДАКТИРОВАТЬ: Если кто-то предпочитает обозначение без индекса, симметрия$\delta\vec{r}=\vec{\epsilon}\times\vec{L}$. Разрешение на зависимость от времени$\vec{\epsilon}$, тогда вариация действия