Вывод p=mvp=mvp = mv из трансляционной симметрии (закон сохранения импульса)?

Если у нас есть координаты$q_i$и некоторые импульсы$p_i$, то генератор преобразования определяется как функция$g(q_i, p_i)$. По определению это порождает преобразование

$$q_i \to q_i + \epsilon \frac{\partial g}{\partial p_i}$$

$$p_i \to p_i + \epsilon \frac{\partial g}{\partial q_i}$$

Итак, если нам нужен генератор переводов, мы хотим

$$q_i \to q_i + \epsilon$$

где$q_i = x$, некоторую конкретную прямоугольную координату, а также

$$p_x \to p_x$$

(поскольку мы хотим генерировать только перенос без изменения импульсов). Это подразумевает$g = p_x + c$. Параметр$c=0$, мы видим, что x-импульс является генератором перемещений в x-направлении.

Вы не можете действительно показать$p_x = m\dot{x}$если вы не сделаете некоторые предположения о гамильтониане. Если мы предположим$H(x,p_x) = \frac{1}{2m}p_x^2 + V(x)$, то уравнения Гамильтона дают

$$\frac{\partial H}{\partial p_x} = \dot{x} = \frac{p}{m}$$

как вы просили.

Все вышеизложенное будет иметь смысл только в том случае, если вы изучали аналитическую механику из источника, который случайно не включил генераторы. Если нет, вы, вероятно, захотите просмотреть гамильтонову формулировку механики. Глава 2 книги Шанкара « Принципы квантовой механики» представляет собой обзор аналитической механики, специально предназначенный для того, чтобы подготовить вас к квантовой механике, и включает обсуждение генераторов.