Можно ли ввести магнитные монополи без струн Дирака?

Если у вас есть источник радиального магнитного поля$B\sim Q_M/r^2$, то можно доказать, что векторный потенциал$\vec A$не может быть однозначным. Это потому что$\vec B={\rm curl}\vec A$для четко определенного$\vec A$автоматически удовлетворяет${\rm div}~\vec B=0$. Однако,$Q_M/r^2$имеет ротор, пропорциональный дельта-функции в начале координат.

Тем не менее, эта дельта-функция обращается в нуль везде, кроме струны Дирака (а пространство минус полубесконечная струна Дирака просто связно), так что со струной Дирака$\vec A$можно определить везде.$\vec A$все еще изменяется под петлей вокруг струны Дирака. Таким образом, магнитный монополь заменяется очень длинным магнитным диполем. Два полюса соединяются тонким соленоидом и один из монополей отправляется в бесконечность и становится неактуальным. Струна Дирака, т. е. очень тонкий соленоид, также становится ненаблюдаемой даже для интерференционных экспериментов (пока ограниченный магнитный поток правильно квантуется).

Приведенные выше аргументы являются водонепроницаемыми, и вы не можете их обойти. Поэтому, если вы спрашиваете, есть ли способ ввести магнитный монополь, чтобы векторный потенциал был однозначным, ответ будет решительным «Нет», как если бы вы спросили, можно ли ввести число 4, чтобы это не равно 2+2.

Однако можно попытаться найти решения подобных, менее специфических проблем. В теориях с Хиггсом можно немного «разбавить» дельта-функцию и найти неособые решения теорий Янга-Миллса с полями Хиггса, так называемые

http://en.wikipedia.org/wiki/%27t_Hooft%E2%80%93Polyakov_monopole

Монополь 't Хоофта-Полякова, который не является сингулярным, но неотличим от монополя Дирака, когда вы находитесь очень далеко от центра решения относительно его характерного масштаба длины. Это решение также имеет различные обобщения.

Введение магнитного заряда в уравнения Максвелла вообще не проблема, не требует никаких струн и т.п. Более того, это делает уравнения Максвелла симметричными относительно магнитного и электрического полей/зарядов. Уравнения следующие:

Однако введение магнитного заряда приводит к ненулевой расходимости магнитных полей, что делает невозможным представление магнитного поля в виде ротора векторного потенциала. Как вы указали в своем вопросе, Дирак ввел сингулярность, чтобы сохранить описание калибровочных потенциалов явления.

Использование калибровочных потенциалов оправдано прекрасным совпадением предсказаний КЭД и экспериментальных данных во всех аспектах, не связанных с идентификацией значений массы и заряда частиц из теории. Прямолинейный расчет приводит к бесконечности, а процедура перенормировки не помогает при отождествлении значений массы и заряда.

Известно, что экспериментально наблюдаемые элементарные частицы имеют нулевой магнитный заряд, но ненулевой магнитный момент. Следовательно, может быть ненулевое распределение плотности магнитного заряда «внутри» частиц, если допустить, что частицы не точечны. Этот подход может быть развит с использованием разложения Гордона векторного тока, построенного из спиноров Дирака. См., например , здесь .

Существует также геометрический подход к магнитным монополям типа Дирака с сингулярным сердечником, впервые предложенный Ву и Янгом, который позволяет избежать струны Дирака за счет введения нетривиальной топологии, расслоений и локально определенных калибровочных потенциалов. Он приводит к тем же физическим предсказаниям, например , к квантованию заряда , что и метод Дирака.

(Вышеизложенное не следует путать с магнитными монополями типа 't Hooft-Polyakov с обычным сердечником, см. ответ Любоша Мотла и этот пост Phys.SE.)

Использованная литература:

1. TT Wu и CN Yang, Концепция неинтегрируемых фазовых факторов и глобальная формулировка калибровочных полей, Phys. Ред. D 12 (1975) 3845.

2. TT Wu и CN Yang, Монополь Дирака без струн: классическая лагранжева теория, Phys. Ред. D 14 (1976) 437.

3. М. Накахара, Геометрия, топология и физика, 1990.

Ниже объясняется, как может быть построена струнная теория свободного монополя.

Монополей в экспериментах не обнаружено. Поэтому главный вопрос, который необходимо определить, — это принципы, используемые в качестве краеугольных камней требуемой теории монополий.

Первый шаг состоит в том, чтобы сформулировать теоретическое определение монополий. Это делается с помощью известного преобразования двойственности. Применяя это преобразование к максвелловской системе электрических зарядов и электромагнитных полей, можно получить макселлианскую систему монополей и электромагнитных полей (без зарядов). Следующим шагом является построение единой теории заряда-монополя.

Рассмотрим два постулата, относящихся к требуемой теории заряда-монополя:

(А) Для незаряженных систем единая теория должна принять форму, полностью двойственную теории зарядов и полей, а для систем без монополей она должна принять форму максвелловской электродинамики.

(B) Электромагнитные поля системы монополей и системы зарядов имеют одинаковые динамические свойства.

Может возникнуть соблазн использовать оба постулата (А) и (В) в качестве фундаментальных элементов теории. Однако оказывается, что этот путь недостижим, поскольку из постулата (А) (без (Б)) и из постулата (Б) (без (А)) получаются разные системы уравнений движения.

Можно доказать, что постулат (A) дает теорию монополя заряда без струн, которая согласуется с вариационным принципом, а постулат (B) дает струны Дирака.

Информацию о научных статьях, в которых обсуждаются эти вопросы, можно найти на странице, указанной по следующей ссылке.

http://www.tau.ac.il/~elicomay/mono.html

Э. Комей