Нарушает ли существование магнитного монополя ковариантную форму уравнений Максвелла для потенциалов?

Отсутствие магнитных зарядов отражено в одном из основных уравнений Максвелла:

(1) див ⁡ Б → знак равно 0.
Это уравнение позволяет ввести понятие векторного потенциала:
Б → знак равно гниль ⁡ А → .
Используя эту концепцию, можно выразить уравнения Максвелла в изящной симметричной форме:
(2) ∇ 2 А → − 1 с 2 ∂ 2 А → ∂ т 2 знак равно − Дж → ϵ 0 с 2 ,
(3) ∇ 2 ф − 1 с 2 ∂ 2 ф ∂ т 2 знак равно − р ϵ 0 .

Заметив, что вектор А → и скаляр ф потенциалы, а также плотность электрического тока Дж → и плотность заряда р , образуют 4-вектор в пространстве-времени Минковского. Следовательно, уравнения Максвелла могут быть выражены в ковариантной форме, используя Даламбера:

(4) ∇ мю ∇ мю А ν знак равно Дж ν ϵ 0 .

Если магнитные монополи существуют, уравнение Максвелла ( 1 ) будет выглядеть так:

див ⁡ Б → знак равно мю 0 с р м а грамм н е т .

По мере расхождения Б → не равен нулю, нельзя ввести понятие векторного потенциала. Таким образом, уравнение в виде ( 4 ) выразить не получится.

Если ∇ ⋅ Б ≠ 0 , но ∇ × Б знак равно 0 , вы можете назначить скалярный потенциал. Наверное..
Но ∇ × Б → ≠ 0 по уравнению Максвелла.
Не обязательно. я знак равно 0 делает свое дело. В принципе, если есть петли, то применяется векторный потенциал, а не скалярный. И наоборот, если источники/стоки магнитного заряда. Но если оба вместе, то у нас есть проблема. Что делает все интересным..
Связанный вопрос, заданный OP на TP.SE: physics.stackexchange.com/q/27755/2451
@Серджио Может быть и нет. Смотрите мой вопрос здесь: physics.stackexchange.com/questions/395167/…

Ответы (2)

Другой вариант, помимо изменения потенциала А мю знак равно ( А я , ф ) каким-то образом, состоит в том, чтобы ввести еще один 4-потенциал С мю знак равно ( С я , ψ ) . Тогда электрическое и магнитное поля равны

Е знак равно − ∇ × С − ∂ А ∂ т − ∇ ф
Б знак равно ∇ × А − ∂ С ∂ т − ∇ ψ

Подробнее об этом двухпотенциальном подходе можно узнать здесь: http://arxiv.org/abs/math-ph/0203043 .

На мой взгляд, введение другого 4-потенциала является наиболее естественным способом решения этой проблемы, в отличие от расслоения Дирака. Интересно, как в результате изменится процедура квантования электромагнитного поля?
Интересно, похоже ли это на потенциалы Хансена для стационарного, но не статического пространства-времени?

Да, введение магнитного монополя в уравнения Максвелла означает, что существование векторного потенциала, определенного везде и всюду непрерывного, уже невозможно. В частности, это может раздражать, потому что представление векторного потенциала имеет решающее значение для предсказания квантованного значения магнитного заряда (как в том виде, в каком оно исторически развивалось, так и в том, как оно обычно представляется).

Несмотря на то, что существование магнитного монополя не утверждалось, было проведено довольно много исследований о том, как обойти эту проблему. Большинство формулировок на самом деле придерживаются той или иной формы векторного потенциала, поскольку это существующая структура и она очень удобна. Это означает, что такой совместимый с монополем векторный потенциал становится менее прямолинейным зверем. Я не уверен, что считается лучшим авторитетом в этом вопросе, но Википедия говорит по этому вопросу (и это соответствует моему собственному пониманию):

В математической теории магнитных монополей A допускается в некоторых местах либо неопределенной, либо многозначной.

Впервые к этой теме подошел Дирак, и его позиция резюмирована здесь :

Рассуждения Дирака показывают, что в квантовой механике согласуется описание магнитного монополя с векторным потенциалом (уравнение 3), даже если он имеет «струнную» сингулярность.

Однако подход Дирака немного устарел. В настоящее время можно было бы рассматривать этот вопрос с использованием теории пучков волокон.
Кстати, актуальная, но несколько старая статья об этом: TT Wu en CN Yang "Монополь Дирака без струн, классическая лагранжева теория", Physical Review D Vol 14-2 p437-445, 1976.
Нарушает ли существование магнитного монополя ковариантную форму уравнений Максвелла для потенциалов?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v