Хиральная аномалия и распад пиона

1) Осевой векторный ток$j^{\mu 5}$это псевдовектор

$$j^{\mu 5}~:=~\overline{\psi}\gamma^{\mu}\gamma^5\psi~=~j^{\mu}_R-j^{\mu}_L,\qquad j^{\mu}_{R,L}~:=~ \overline{\psi}_{R,L}\gamma^{\mu}\psi_{R,L},$$ $$\psi_{R,L}~:=~P_{R,L}\psi,\qquad P_{R,L} ~:=~\frac{1\pm\gamma^5}{2} .$$

The $4$-дивергенция$d_{\mu}j^{\mu 5}$является псевдоскаляром . Что осевой ток$j^{\mu 5}$сохраняется классически означает, что$4$-дивергенция$d_{\mu}j^{\mu 5}=0$обращается в нуль классически, и если определить осевой заряд

$$N^5(t)~:=~N_R(t)-N_L(t),\qquad N_{R,L}(t)~:=~\int {\rm d}^3{x}~j^0_{R,L}(t,\vec{x}),$$

тогда$N^5(t)$классически сохраняется во времени.

2) Из уравнения Дирака следует , что спин$1/2$частица и ее античастица должны иметь противоположную внутреннюю четность . Условно для кварков$P(q)=1=-P(\bar{q})$. Таким образом, четность мезона равна

$$P({\rm meson})~=~P(q)P(\bar{q})(-1)^{L}~=~(-1)^{L+1}.$$

В частности, пион$\pi^0$с$J=L=S=0$является псевдоскаляром с четностью $P(\pi^0)=-1$.

3) Пион — это связанное состояние кварка и антикварка, которое трудно напрямую связать с лагранжевой плотностью стандартной модели и, в конечном счете, с двумя фотонами$\gamma+\gamma$. На практике вместо этого изучают, как$\pi^0$и два$\gamma's$пара к аксиальному векторному току$j^{\mu 5}$.

1. Цитируя Пескина и Шредера внизу страницы 669: мы можем параметризовать матричный элемент$j^{\mu5a}$между вакуумом и пионом на оболочке, написав

   $$\langle 0 | j^{\mu5a}(x) | \pi^b(p) \rangle~=~ -i p^{\mu} f_{\pi} \delta^{ab} e^{-ip\cdot x}, \qquad (19.88)$$ куда$a,b$– индексы изоспина и$f_{\pi}$является константой [...]. В качестве проверки непротиворечивости уравнения. (19.88), обратите внимание, что lhs = псевдовектор$\times$псевдоскаляр = вектор = правая.

2. С другой стороны, например, в главе 76 Srednecki, QFT , с помощью формулы LSZ и тождества Уорда утверждается, что$4$-дивергенция

   $$d_{\mu} \langle p,q | j^{\mu5}(x) | 0 \rangle \qquad \qquad \qquad (76.20)$$ обращается в нуль классически, где$\langle p,q |$это состояние с двумя исходящими фотонами с$4$-импульсы$p$а также$q$.

Итак, в двух словах, распад пиона$\pi^0\to \gamma+\gamma$классически запрещен, потому что фотон с двумя состояниями не связан классически с аксиальным током$j^{\mu5}$.

Нейтральный пион не распался бы (в обсуждаемом Вами случае) только в том случае, если бы составляющие кварки, образующие нейтральный пион, были безмассовыми. Профессиональный ответ на Ваш вопрос можно найти здесь: http://www.scholarpedia.org/article/Axial_anomaly . В нем ясно сказано (между уравнениями 14 - 15 и уравнениями 24 - 25), что для сохранения аксиального тока на классическом уровне требуется нулевая масса поля Ферми-Дирака. Если это так, то квантовые эффекты по-прежнему позволяют псевдоскалярному связанному состоянию (частицам) распадаться на два фотона из-за квантовой аномалии.

Однако кварки не безмассовы, и нейтральный пион может даже на классическом уровне распадаться на два гамма, точно так же, как пара-позитрониевое (е+е-) квантовое состояние аннигилирует = распадается на два гамма. Об аномалиях в парапозитрониевом случае никто не говорит, так как масса электрона явно равна 0,5 МэВ. В этом смысле роль аксиальной аномалии в распаде нейтрального пиона может показаться переоцененной. Р.Джекив говорит (физическая масса пиона может быть точно описана как "приблизительно" исчезающая) в своем объяснении ( http://www.scholarpedia.org/article/Axial_anomaly ). Нейтральная масса Pi0 составляет 135 МэВ, что в 135 раз больше, чем у позитрония. Если кто-то обнаружит, что 135 МэВ примерно равен нулю, то, я думаю, распад Pi0 может быть связан с квантовой аномалией.