Всегда ли ближайшая планета к другой планете является самой внутренней планетой?

Для планеты с другой планетой в точке Лагранжа L4 или L5 они будут ближайшими соседями друг друга; как вы можете видеть из моделирования, Меркурий имеет среднее расстояние на несколько % больше, чем среднее расстояние между Солнцем и планетой (например, 1,04 а.е. для Земли), а точки Лагранжа образуют равносторонние треугольники с самой большой планетой и Солнцем, так что для Земли это будет (постоянное) расстояние в 1 а.е.

Конечно, вопрос о том, будет ли самая маленькая из двух считаться планетой, остается спорным . Они могут быть довольно большими, например, Юпитер (317,8 массы Земли) может иметь троянца весом 317,8 / 24,96 = 12,7 массы Земли.

Как упоминалось ранее, полностью общая версия этого вопроса требует довольно сложного анализа, чтобы иметь дело с орбитами, которые не являются круговыми и не компланарными. Еще сложнее, если вы хотите включить гравитационные взаимодействия между планетами, хотя в большинстве случаев эти небольшие возмущения не будут достаточно большими, чтобы повлиять на то, какая планета имеет наименьшее среднее расстояние до данной планеты.

К счастью, для нашей Солнечной системы мы можем использовать JPL Horizons для определения расстояний между планетами. Позже в этом ответе я покажу некоторые результаты, полученные с помощью Horizons для среднего расстояния между Землей и Меркурием и Землей и Венерой. Но сначала я хотел бы дать краткий анализ варианта этой задачи с простыми компланарными круговыми орбитами.

В нашей простой плоской круговой солнечной системе все планеты вращаются вокруг солнца S в одном и том же направлении. Орбита нашей «родной» планеты H имеет радиус 1 и период 1. Планеты подчиняются законам Кеплера, поэтому они движутся вокруг S с постоянной орбитальной скоростью. Планета P с радиусом орбиты$r$имеет период$T=r^{3/2}$.

По отношению к H, P имеет синодический период

Пусть угол при HSP равен$\theta$. Затем

Пусть ХП будет$s$. Тогда по правилу косинусов

Это не простой интеграл, но его можно преобразовать в полный эллиптический интеграл второго рода .

Используя Sage, мы можем построить$s$и вычислить$m$для нескольких значений$r$, в течение двух синодических циклов. Синяя пунктирная горизонтальная линия показывает среднее расстояние.

Когда$r=0$,$m$имеет минимальное значение 1, и$m$растет как$r$делает. Для маленьких$r$, график$s$представляет собой почти синусоиду в диапазоне от$1-r$к$1+r$. Но$r$растет, мы видим, что нижняя часть графика явно более «заостренная», чем верхняя, что сдвигает среднее значение вверх. Острота достигает пика в$r=1$, после чего постепенно уменьшается. (Обратите внимание, что$r=1$означает, что H и P находятся на одной орбите, поэтому$T_s$бесконечно, поэтому$r=1$кадр на самом деле невозможен, это просто предельный случай).

Вы можете использовать этот сценарий для создания статического графика для небольших значений$r$.

Вот сюжет$m$против$r$, вычисленный с использованием эллиптических интегралов.

А вот и сценарий заговора

Как и было обещано, вот график Horizons расстояния Земля-Меркурий за 12 синодических циклов. Начальная и конечная точки близки к локальным максимумам. Временной интервал разбит на 1390 равных шагов (что чуть меньше 1 дня).

Среднее расстояние = 154762296 км

А вот расстояние Земля-Венера, более 12 синодических циклов. Временной интервал разбит на 879 равных шагов (чуть меньше четырех дней).

Среднее расстояние = 170272478 км

Орбита Меркурия довольно эксцентрична, поэтому высота максимумов и минимумов и длина синодического цикла сильно различаются. Чтобы получить более точное значение среднего расстояния, мы действительно должны усреднить гораздо больше циклов.

Эксцентриситет орбиты Венеры довольно низкий, поэтому ее график намного ближе к графикам простой круговой орбиты выше.

Хотя среднее расстояние до Меркурия, безусловно, меньше, чем среднее расстояние до Венеры, на 15510182 км, Венера явно имеет меньшее минимальное расстояние до Земли.

Последние два графика были созданы с помощью этого скрипта Horizons Sage/Python . Вы можете использовать его для создания общих графиков расстояний. Любое тело, известное Horizons, может быть задано в качестве цели, хотя в качестве центра могут быть указаны только крупные тела. Здесь есть более ранняя версия скрипта вместе с краткими инструкциями.

Сценарий использует данные диапазона Horizons (и его производную по времени) для вычисления ряда кубических кривых Безье, проходящих через точки данных. Он определяет среднее расстояние путем точного интегрирования кривых Безье.

Не для двойных планет , для которых каждое тело всегда является ближайшей планетой к другому.

Плутон и Харон бесспорно отвечают всем требованиям. В этом отчете Международного астрономического союза за 2006 г. говорится:

В: Является ли Плутон планетой?

О: Да. Фактически, большой спутник Плутона по имени Харон также достаточно велик и достаточно массивен, чтобы соответствовать определению «планета». Поскольку Плутон и Харон гравитационно связаны друг с другом, теперь они фактически считаются «двойной планетой».

Даже если не считать их планетами, столкновение, подобное Земле и Тее, в другой системе могло бы предположительно создать пару с барицентром вне каждого тела.

В вики также указано

... Луна в настоящее время мигрирует от Земли со скоростью примерно 3,8 см (1,5 дюйма) в год; через несколько миллиардов лет центр масс системы Земля-Луна будет находиться за пределами Земли, что сделает ее системой с двумя планетами.

Причина, по которой Меркурий является в среднем ближайшей планетой ко всем планетам, частично связана с тем фактом, что из-за законов Кеплера период масштабируется с большой полуосью орбиты, и поэтому большие орбиты будут медленными и тратят много времени. времени далеко от любого данного объекта, потому что орбиты очень медленные. В оппозиции для любых двух объектов они будут (учитывая почти круговую орбиту) суммой двух больших полуосей, удаленных друг от друга. Так что, естественно, если планета имеет маленькую большую полуось, она будет быстро двигаться вокруг и находиться намного ближе гораздо больше времени, чем другой объект с большей большой полуосью и более медленной орбитой.

Этот принцип легко распространить на другие системы, поскольку законы Кеплера применимы к любой планетной системе. Что касается двойной системы, динамика, близкая к двойной звездной системе, может стать довольно сложной, поэтому я не уверен, что именно произойдет, но поскольку двойную систему можно аппроксимировать как одну массу из-за расстояний, то это все равно будет верным.

Дайте мне знать, если это объяснение сбивает с толку; Я могу отредактировать и перефразировать это, чтобы сделать его более понятным, если это необходимо.

Редактировать: после дальнейшего рассмотрения и с помощью комментариев необходимо рассмотреть, какое среднее значение мы здесь рассматриваем. В нашей Солнечной системе многие орбиты почти круговые, и в подобных ситуациях круговые приближения могут дать возможность чисто пространственных средних из-за постоянной угловой скорости. Однако, как видно из законов Кеплера, орбиты представляют собой эллипс и технически, за исключением случая идеально круглой орбиты, имеют различные угловые скорости (и, соответственно, тангенциальные скорости). Для орбиты с эксцентриситетом, который не может быть аппроксимирован круговой орбитой, необходимо рассматривать временное среднее, а не только пространственное.

Хороший пример этого дает d_e в комментарии; он говорит

Представим 3 планеты - одна очень близко к Солнцу. остальные 2 находятся очень далеко (в афелии) от Солнца и имеют примерно одинаковую большую полуось - и такое же направление линии апсид. Хитрость заключается в том, чтобы заставить их иметь очень-очень большой эксцентриситет, чтобы время, которое они проводят вблизи солнца, было очень коротким; поэтому большую часть времени планеты будут проводить в своем афелии (который их афелий, как мы сказали, близок друг к другу)

Для круговых орбит (или близких к ним) простой мысленный эксперимент может немного прояснить обоснование ртутного вывода. Возьмем, к примеру, Меркурий, Сатурн и Уран. Большая полуось для каждого из них составляет (примерно) 0,4, 10 и 20 а.е. (опять же, здесь происходит заметное округление, но это эвристический пример). Предполагая круговые орбиты, Сатурн всегда будет находиться на расстоянии 9,6 или 10,4 а.е. от Меркурия во всех точках своей орбиты, а это означает, что среднее значение должно попасть туда. Для Сатурна и Урана они будут находиться на расстоянии около 10 а.е. в самом ближайшем месте и в 30 — в самом дальнем. Учитывая этот диапазон, нетрудно представить, что среднее значение, вероятно, будет прилично больше, чем 10,4, абсолютное максимально возможное среднее расстояние между Сатурном и Меркурием.

Хотя этот пример почти полностью качественный, я надеюсь, что он будет полезен для проверки математического и количественного анализа, представленного по ссылке, размещенной в вопросе.

Для некруговых орбит, как показано на d_e, это рассуждение не обязательно распространяется, и поэтому ответ будет отрицательным , это не распространяется вообще. Каждая система должна быть проанализирована отдельно. Но для группы почти круговых орбит это, по-видимому, так.

Я оставил свой предыдущий ошибочный ответ здесь в качестве контекста для комментариев ниже, которые весьма иллюстрируют некоторые важные принципы.

Не обязательно

Авторы статьи, ссылка на которую приведена выше, предполагают, что речь идет о планетах.

на примерно круговых, концентрических и копланарных орбитах

Предположим, Меркурий и Земля имеют круговые копланарные орбиты, Меркурий находится на расстоянии 0,4 а.е., а Земля — 1 а.е. от Солнца. С помощью быстрой программы и анализа методом Монте-Карло мы получаем тот же результат, что и автор статьи, на которую ссылались выше, что среднее расстояние от Земли до Меркурия составляет 1,04 а.е.

Слегка изменим описанный выше сценарий, чтобы Меркурий теперь имел наклонение звездной орбиты относительно Земли на 90 градусов, т.е. их орбитальные плоскости перпендикулярны. Теперь анализ Монте-Карло показывает среднее расстояние 1,0584 а.е.

Итак, ясно (несмотря на нестабильность орбиты) у нас может быть самая внутренняя планета с наклоном, перпендикулярным эклиптике, которая в среднем находится дальше от Земли, чем следующая планета с копланарным наклоном.

Добавьте к этому возможность очень эксцентричной орбиты самой внутренней планеты (где большая полуось является нашей мерой звездной близости), и мы можем получить еще более вопиющее несоответствие в среднем расстоянии, поскольку огромное количество времени для такой планеты проводится далеко. от звезды в апоапсисе.

Примечание. Конкретный контрпример экзопланеты такого рода может быть чрезвычайно сложно найти, поскольку:

1. планеты имеют тенденцию развиваться по почти копланарным орбитам.
2. Такая система почти наверняка будет нестабильной.
3. Перпендикулярные орбитальные плоскости сделали бы обнаружение обеих планет методами транзита крайне редким.

Копланарный код:

n=1e7;
theta = rand(1,n)*2*pi;
points =[0.4*sin(theta)-1;0.4*cos(theta)];
aveDist = mean(sqrt(points(1,:).^2+points(2,:).^2));

Код перпендикулярен:

n=1e7;
theta = rand(1,n)*2*pi;
phi = rand(1,n)*2*pi;
points =[0.4*cos(phi).*sin(theta)-1;0.4*sin(phi).*cos(theta);0.4*cos(theta)];
aveDist = mean(sqrt(points(1,:).^2+points(2,:).^2+points(3,:).^2));

[Это дополнительный ответ на ответ Джастина Тэкетта. Я чувствовал себя несколько вынужденным в свете комментариев (даже после правок) и проиллюстрировать свой пример (упомянутый в ответе) диаграммой.]

Я говорю, что есть две наивные ситуации, когда самая внутренняя планета — это не шкаф. На приложенной иллюстрации есть только 2 планеты, и я учитываю расстояние до Солнца (поскольку мы можем предположить, что самая внутренняя планета находится так близко к Солнцу, поэтому нет никакой разницы, вместо этого измерять расстояние до Солнца).

1. В первом примере период (и, следовательно, большая полуось) и угол пегилия внешних планет совпадают. Они отличаются только эксцентриситетом. Мы можем ясно видеть, что расстояние между планетами всегда меньше, чем расстояние до Солнца. (Я использовал ту же фазу орбиты - но мы можем допустить небольшую разницу - также в местоположении пегилиона)

Можно справедливо утверждать, что такая установка в реальной жизни невозможна - и я с ним соглашусь. Ценность моего ответа прежде всего в том, чтобы продемонстрировать, что здесь нет ничего универсального, что можно было бы вывести из кеплеровской системы; скорее, что каждая система имеет свои особенности.

2. Второй пример, который был приведен в ответе Джастина Тэкетта, включает в себя две планеты с очень высоким эксцентриситетом и примерно с одинаковой большой полуосью и углом пегилия. Признаюсь, я думал - в приведенных ниже цифрах - эффект будет сильнее; тем не менее и здесь довольно легко увидеть, что среднее расстояние между планетами меньше, чем расстояние до Солнца. Обратите внимание, что диаграмма не в масштабе: ось X длиннее - если бы она была в масштабе, орбиты больше походили бы на сильные эллипсы. Большую часть времени планеты находятся на X>3, а Солнце на 0. Этого достаточно, чтобы подтвердить, что я верю моему утверждению.

Страница, на которую вы ссылаетесь, и документ относятся к PCM (метод точечной окружности), и PCM рассматривает орбиты двух объектов как круговые, концентрические и компланарные. Если бы у планет в системе были странные (и, вероятно, нестабильные) орбиты, это могло бы быть не так.

Метод PCM рассматривает положение планеты в любой момент времени как равномерное вероятностное распределение. Это означает, что если вы посмотрите на случайный момент времени за последний миллиард лет, каждая планета имеет примерно одинаковую вероятность находиться в любой точке своей орбиты. Это дает вам возможность рассматривать одну планету как точку (P) и вычислять среднее значение для всех точек на круговой орбите другой планеты, как если бы они были равновероятными (C).

В общем случае для любых двух планет, на которые вы смотрите, среднее расстояние между ними будет уменьшаться по мере того, как уменьшается орбита внутренней планеты. Если бы вы составили список ближайших планет к любой другой, они всегда были бы в порядке ближайшего расстояния к солнцу (наименьшая орбита).

На картинке ниже есть тестовая планета (внешняя светло-голубая) и две внутренние планеты, зеленая и синяя, где мы хотим найти, какая из них в среднем ближе всего.

PCM использует статическое положение для тестовой планеты (светло-голубой внешний) и вычисляет среднее расстояние до каждой точки на кругах, представляющих орбиты других планет.

Вам не нужно делать никаких расчетов, чтобы сказать, что среднее расстояние будет меньше для внутренней планеты. Если мы возьмем любой угол вокруг окружности и проведем вертикальную линию (справа), мы увидим, что внешняя планета будет дальше в сторону в этой точке своей орбиты. Она будет ближе в 1/2 раза и дальше в 1/2 раза по вертикали, чем внешняя планета, но во всех случаях, кроме случаев, когда они выровнены с нашей тестовой планетой, внешняя планета будет иметь большую горизонтальную составляющую расстояния. .

В двойной звездной системе планеты могут иметь два типа орбит.

Планета на S-образной или не околоземной орбите будет вращаться вокруг одной из двух звезд. Таким образом, расстояние между двумя звездами должно быть по крайней мере в несколько раз больше, чем большая полуось орбиты планеты, если планета должна иметь устойчивую орбиту.

Планета на орбите p-типа или околоземной орбите будет вращаться вокруг обеих двух звезд. Таким образом, большая полуось орбиты планеты должна быть как минимум в несколько раз больше расстояния между двумя звездами, чтобы планета имела стабильную орбиту.

В двойной звездной системе планеты могут находиться на орбитах S-типа вокруг одной из звезд или обеих звезд, а планеты - на орбитах P-типа вокруг обеих звезд.

Каждая планета вокруг звезды будет иметь запретную зону вокруг своей орбиты, где никакая другая планета не может вращаться из-за гравитационных взаимодействий. Чем ближе две планеты к своей звезде, тем меньше будут их запретные зоны и тем ближе могут быть две орбиты.

Если в двойной системе есть две звезды, А и В, и планеты на S-орбитах вокруг каждой из них, мне кажется очевидным, что самая внутренняя планета вокруг А будет — в среднем, как задается вопрос, — ближайшей к каждой из них. других планет, вращающихся вокруг A. Точно так же самая внутренняя планета, вращающаяся вокруг B, будет в среднем, как задается вопрос, ближайшей к каждой из других планет, вращающихся вокруг B.

Если расстояние между А и В должно быть, по крайней мере, в 5 раз больше расстояния по орбите самой дальней планеты вокруг любой из звезд, мы можем составить картину системы.

Предположим, что самая дальняя планета вращается вокруг каждой из звезд на расстоянии 10 единиц, а расстояние между двумя звездами по их орбитам составляет 50 единиц. Очевидно, расстояние между крайними планетами каждой звезды будет варьироваться от 40 до 60 единиц, при среднем расстоянии около 50,99 единиц.

Но внутренняя планета, вращающаяся вокруг звезды А на расстоянии 5 единиц, например, планета AI, всегда будет находиться на расстоянии от 5 до 15 единиц от самой дальней планеты, вращающейся вокруг звезды А на расстоянии 10 единиц, планеты А II, и среднее расстояние между двумя планетами будет около 11.180 единиц по Пифагору.

Таким образом, любая планета, вращающаяся вокруг звезды A, всегда будет ближе к любой планете, вращающейся вокруг звезды A, чем любая планета, вращающаяся вокруг звезды B, может когда-либо приблизиться, даже если она находится ближе всего.

Предположим, что есть также планеты на орбитах P-типа или круговых орбитах вокруг центра масс двух звезд A и B. Представьте, что планета AB I вращается со скоростью 250 единиц, планета AB II — со скоростью 500 единиц, а планета AB III — со скоростью 1000 единиц. единицы измерения.

Расстояние между AB I и AB II всегда будет между 250 и 750 единицами, в среднем 559,01 единицы.

Расстояние между AB II и AB III всегда будет между 500 и 1500 единицами, в среднем 1118,03 единицы.

Расстояние между AB I и AB III всегда будет между 750 и 1250 единицами, в среднем 1030,77 единиц.

Таким образом, это указывает на то, что самая внутренняя планета, вращающаяся по орбите P-типа вокруг центра тяжести двух звезд A и B, а именно планета AB I, будет ближайшей — в среднем, как задается вопрос — к другим планетам. на орбите. на орбитах P-типа вокруг обеих звезд.

Таким образом, остается вопрос о том, будут ли какие-либо планеты на орбитах S-типа вокруг одной из звезд, A или B, ближе — в среднем, как задается вопрос, — к планетам на орбитах P-типа вокруг звезды. центр масс звезд А и В.

Если предположить, что звезды A и B имеют одинаковую массу, они будут вращаться вокруг центра, или массы, или барицентра на равных расстояниях. Предполагая почти идеально круговые орбиты, каждая звезда всегда будет находиться почти ровно в 25 единицах от барицентра.

Я заявил, что никакая планета А или В не может иметь устойчивую орбиту дальше, чем на 10 единиц от своей звезды. Таким образом, ни одна планета A или B никогда не сможет отойти от барицентра двух звезд более чем на 35 единиц.

Таким образом, планета, вращающаяся вокруг A или B, может удалиться от планеты AB I на расстояние от 215 до 285 единиц при среднем расстоянии около 251 единицы.

Это означает, что планета, вращающаяся вокруг A или B, иногда может быть ближе к планете AB I, чем планета AB II.

Планета, вращающаяся вокруг A или B, может находиться на расстоянии от 465 до 535 единиц от планеты AB II со средним расстоянием около 500,646 единиц. Что короче среднего расстояния между AB I и AB II.

Планета, вращающаяся вокруг A или B, может находиться на расстоянии от 965 до 1035 единиц от планеты AB III со средним расстоянием около 1000,3124 единицы. Что меньше среднего расстояния между AB II и AB III и меньше среднего расстояния между AB I и AB III.

Таким образом, по-видимому, в двойной звездной системе с планетами на орбитах S-типа вокруг одной или каждой из звезд, а также планетами на орбитах P-типа вокруг центра масс обеих звезд планеты на орбитах S-типа будут ближе - в среднем, как определено в вопросе, - к планетам на орбитах P-типа, чем любая из планет на орбитах P-типа будет - в среднем, как определено в вопросе, - друг к другу.

Конечно, я только продемонстрировал это для конкретных орбит, выбранных мной для системы в моем примере.

Рассмотрим более общий взгляд на ситуацию в системах с одной звездой:

Каково среднее расстояние до планеты? Разбейте это на две составляющие: расстояние по линии от планеты, от которой вы измеряете (которую я обозначу О), через барицентр планетарной системы, которую я обозначу Х, и расстояние, на котором планета смещена от этой линии. которую я буду называть Ю.

Теперь, каково среднее X? Хотя планета будет проводить больше времени вблизи своего апоцентра, чем перицентра, это не зависит от орбиты планеты, от которой вы измеряете, и, таким образом, будет в среднем равно нулю. Таким образом, средний X всегда является расстоянием от O до барицентра. Это одинаково для всех планет.

Это оставляет Y. Опять же, углы смещения между O и целью в среднем не учитываются - они будут варьироваться от нуля до среднего радиуса орбиты цели. Мое исчисление слишком заржавело, чтобы суммировать это, но это не имеет значения — оно явно зависит от орбитального радиуса и больше ни от чего.

Это у нас фиксированное X, а Y меняется в зависимости от радиуса орбиты. Таким образом, sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) также будет упорядочена по радиусу орбиты, хотя связь больше не является линейной. Таким образом, среднее расстояние до планеты будет упорядочено по радиусу орбиты планеты. Внутренняя планета всегда самая близкая.

Теперь есть некоторые особые случаи, которые были представлены в других ответах: двойные планеты, объекты L4 и L5. Тем не менее, одно из требований, чтобы быть планетой, состоит в том, чтобы очистить свою орбиту — и все такие случаи означают, что у вас есть два объекта на орбите. Таким образом, они не могут быть планетами, чтобы быть более близкой планетой.

Модификация этого вопроса, которая может прояснить его:

Всегда ли среднее расстояние между планетой на стандартной орбите (одна планета на круговую орбиту) и ее главной звездой меньше, чем среднее расстояние между планетой и любой другой планетой, вращающейся вокруг основной?

Чем ближе планета к праймеру, тем ближе ее среднее расстояние до любой другой планеты к среднему расстоянию между праймером и любой другой планетой.