Угловой дефицит

Если начать с плоского листа бумаги, убрать клин и склеить листы вместе, получится конус. Угол удаленного клина называется «дефицитом угла».

Теперь, если это сделать в трех пространственных измерениях, удалив «клин» вдоль всей линии, точно так же будет угловой дефицит вокруг дефекта линии. Используя цилиндрические координаты, мы можем записать метрику пространства-времени как:
г мю ν "=" г т 2 − г г 2 − г р 2 − р 2 г θ 2
с 0 ≤ θ ≤ 2 π − Δ ф и граничное условие, что θ "=" 0 эквивалентно θ "=" 2 π − Δ ф , где Δ ф угловой дефицит. Этот дефект линии иногда называют «космической струной». В ОТО это также можно использовать для описания пространства-времени вне цилиндрически симметричного объекта при определенных условиях ( http://prd.aps.org/abstract/PRD/v39/i4/p1084_1 ).

Кроме изменения граничного условия для θ , это выглядит в точности как плоское пространство-время. Таким образом, пространство-время локально плоское (риманова кривизна обращается в нуль) везде, кроме дефекта линии, где оно не определено. Таким образом, без непосредственного наблюдения за дефектом его гравитационное присутствие можно увидеть только в топологическом смысле, поскольку для этого требуются измерения путей, огибающих дефект.

Чтобы убедиться, что моя интуиция в порядке до этого момента, сначала я хотел бы проверить последнюю строку: на
случай, если я что-то упустил... В таком пространстве-времени можно как-то измерить угловой дефицит "локально" или с использованием путей, которые имеют нулевое число обмоток вокруг дефекта?

Это интуитивное понимание углового дефицита, по-видимому, неявно требует, чтобы пространство-время было локально плоским и имело симметрию бесконечного цилиндра. Например, если я нарушу трансляционную симметрию вдоль дефекта линии, сделав ее конечной по длине, то нельзя будет даже использовать интуитивную топологию, чтобы определить, проходит ли путь «вокруг» дефекта линии или нет. Однако физическая интуиция утверждает, что пространство-время вокруг центра дефекта конечной линии на расстояниях, намного меньших конечной длины, должно по-прежнему приближаться к случаю бесконечной линии.

Можно ли каким-то образом строго определить «угловой дефицит» вдоль пути для произвольных метрик? Если нет, то какие симметрии необходимы для этого?

Можно ли в таком пространстве-времени как-то измерить угловой дефицит "локально" или с помощью путей, имеющих нулевое число обмоток вокруг дефекта? ... Нет. Необходимо измерить фазовое изменение дефекта при перемещении его вокруг другого дефекта по полному кругу. Так же, как вы поступаете с энионами и другими топологическими объектами в конденсированном состоянии.
Это конкретно о теме Космической Струны? Общей настройкой для этого будет исчисление Редже, для которого есть несколько ссылок о его универсальности и полезности.
@Roy Нет, речь идет не конкретно о космических струнах, но они дают единственное введение в это, которое интуитивно описывает угловые дефекты. Но даже там, вместо того, чтобы рассматривать это как удаление клина, мы можем масштабировать координаты, чтобы вернуться к обычному 0 ≤ θ ≤ 2 π и получить метрику: г мю ν "=" г т 2 − г г 2 − г р 2 − к 2 р 2 г θ 2 где к - параметр масштабирования, чтобы сопоставить тета обратно с обычным диапазоном. Кажется, что угловой дефицит четко не определен, если не сравнивать непосредственно с плоским пространством-временем. Если бы существовала какая-то другая материя, могли бы мы хотя бы определить угловой дефицит?
По сути, по крайней мере, в примере с линейным дефектом угловой дефицит представляется топологической величиной, и поэтому мы должны быть в состоянии определить его независимым от системы координат образом. Таким образом, если мы добавим другую материю к фону этой ситуации с линейным дефектом, мы все равно сможем рассчитать угловой дефицит, даже если у нас больше нет хорошего плоского пространственно-временного «фона». В конечном счете, было бы неплохо иметь определение в терминах интеграла по площади или некоторым путям, включающее только метрику или кривизну.

Ответы (1)

Тензор Римана равен нулю везде, кроме геометрического места этой космической струны, поэтому любое открытое множество в этом локально плоском пространстве будет вести себя так же, как соответствующее открытое множество в плоском пространстве.

Однако существует ненулевой тензор Римана, пропорциональный дельта-функции прямо в начале координат двумерной Икс у плоскости, поперечной космической струне.

р Икс у Икс у "=" Δ ф ⋅ дельта ( 2 ) ( Икс , у )
Все остальные компоненты тензора Римана равны нулю.

Это означает, что если вы изучите, что происходит с вектором в → при параллельном транспорте по кривой, огибающей ( Икс , у ) "=" ( 0 , 0 ) точка, т.е. геометрическое место космической струны, вы обнаружите, что этот вектор в → будет вращаться на Δ ф в Икс у самолет.

Таким образом, такая космическая струна может действовать как своего рода гравитационная линза. Световые лучи от одного и того же исходного источника могут падать в наши телескопы с двух направлений, отличающихся друг от друга. Δ ф .

Верно, что если бы космическая струна была открытой струной, нельзя было бы однозначно сказать, окружает ли траектория в пространстве эту космическую струну или нет. Следовательно, «монодромия» была бы неопределенной: должна ли она быть нулевой или угол дефицита? Разрешение этого парадокса просто в том, что космическая струна такого рода не может быть «открытой». Нельзя написать геометрию, которая выглядела бы плоской на больших расстояниях от открытой космической струны — во всех направлениях — но при этом имела бы угол дефицита, но при этом была бы локально плоской почти везде. Наблюдение, что такая геометрия привела бы к противоречивым и неоднозначным предсказаниям относительного угла между световыми лучами, является доказательством того , что такая геометрия не может существовать.

На практике существует множество причин, по которым космическая струна не может быть разомкнута. Если бы космическая струна могла легко создавать конечные точки, она была бы неустойчивой, как и магнитная трубка КХД. И каждый открытый сегмент такой космической струны будет быстро сжиматься, чтобы минимизировать свою длину, что также минимизирует энергию. Настоящие космические струны в физике должны быть хотя бы локально стабильными. Также многие космические и не только космические струны несут различные «заряды», которые можно интерпретировать как «числа намотки» (бесконечные, если струны тянутся через Вселенную) — однако в этом случае вокруг тоже существует обобщенное «электромагнитное поле». они также имеют ненулевую плотность энергии и являются источниками гравитационного поля. Такие вещи также сильно ограничены. Но даже при отсутствии таких сохраняющихся зарядов

Приносим свои извинения, если есть ошибки в знаках или ошибки в факторах двух выше.

Угловой дефицит
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v