Как рассчитать гравитационную силу черной дыры за пределами горизонта событий на заданном расстоянии rrr? [дубликат]

Сначала я отвечу на второй вопрос, так как мне кажется, что он проще в вычислениях, и, поскольку расчет для первого вопроса аналогичен, я только прокомментирую его и оставлю детали для вас.

Во-первых, нет устойчивых круговых орбит под$r=3r_s$и никаких круговых орбит под$r=3r_s/2$для черной дыры Шварцшильда.

Теперь мировая линия спутника на круговой орбите равна$x^\mu(t)=(t,r,\pi/2,\omega t)$, где$\omega$– угловая скорость в координатах Шваршильда. Таким образом, мы можем вычислить 4-скорость:

$$v^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}=(1,0,0,\omega)\frac{dt}{d\tau},$$ где$\tau$есть собственное время вдоль кривой, т. е.: $$d\tau^2=g_{tt}dt^2+g_{\phi\phi}\omega^2dt^2=dt^2\left(g_{tt}+g_{\phi\phi}\omega^2\right).$$ Таким образом, 4-скорость равна: $$v^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}=(1,0,0,\omega)\frac{1}{\sqrt{g_{tt}+g_{\phi\phi}\omega^2}}.$$

Обратите внимание, что 4-скорость в этих координатах постоянна. Поэтому 4-ускорение просто задается символами Кристоффеля:

$$a^\lambda=\Gamma^\lambda_{\nu\mu}v^\mu v^\nu.$$

Нас интересуют ненулевые компоненты, поэтому только в$\Gamma^\lambda_{tt}$,$\Gamma^\lambda_{t\phi}$,$\Gamma^\lambda_{\phi t}$,$\Gamma^\lambda_{\phi\phi}.$Вы можете погуглить или вычислить, что из них единственные ненулевые

$$\Gamma^r_{tt}=-\frac{r_s}{2r^2}g_{tt}$$ $$\Gamma^r_{\phi\phi}=r g_{tt}$$

Конечно, круговая орбита является геодезической, поэтому ускорения нет. Поэтому мы требуем:

$$0=\Gamma^r_{tt}v^t v^t+\Gamma^r_{\phi\phi}v^\phi v^\phi$$ и использовать это для вычисления$\omega:$ $$0=-\frac{r_s}{2r^2}+\omega^2r \Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{r_s}{2r^3}}.$$ Теперь скорость обращения зависит от наблюдателя. Если мы возьмем покоящегося наблюдателя в координатах Шварцшильда, этот наблюдатель будет измерять скорость как: $$v=\frac{\sqrt{g_{\phi\phi}}d\phi}{\sqrt{-g_{tt}}dt}=\omega\sqrt{\frac{g_{\phi\phi}}{-g_{tt}}}=\sqrt{\frac{r_s}{2r^3}\frac{r^2}{1-\frac{r_s}{r}}}=\sqrt{\frac{r_s}{2(r-r_s)}}.$$

Как видите, это даст вам скорость света.$v=1$для$r=3r_s/2$. Так что это самая близкая круговая орбита, которая может существовать.

Теперь вы можете сделать то же вычисление, чтобы получить гравитационную «силу» на некотором расстоянии.$r$. Но сначала осознайте, что в ОТО нет гравитационной силы. Но есть ускорение. Таким образом, вы можете вычислить 4-ускорение некоторого объекта так же, как я только что сделал, а затем посмотреть, какая сила создает это ускорение. Если этот объект покоится относительно черной дыры (т.е. следует по мировой линии$x^\mu(t)=(t,0,0,0)$в координатах Шварцшильда) эта сила, необходимая для удержания объекта на месте, будет представлять, насколько сильно гравитация воздействует на объект, хотя концептуально это не то, что на самом деле происходит. Я оставляю расчет на вас.