Каково реальное фундаментальное определение энергии?

Здесь можно начать с лагранжевого формализма физики. В этой формулировке мы определяем функцию, которая отображает все возможные пути, по которым движется частица, в действительные числа, и называем ее лагранжианом. Тогда [классический] путь, пройденный частицей, — это путь, для которого лагранжиан имеет нулевую производную по малым изменениям каждого из путей.

Оказывается, благодаря результату, известному как теорема Нётер, что если лагранжиан остается неизменным из-за симметрии, то движение частиц обязательно будет иметь сохраняющуюся величину.

Энергия - это сохраняющаяся величина, связанная с симметрией переноса времени в лагранжиане системы. Итак, если ваш лагранжиан не изменился после замены$t^{\prime} = t + c$за$t$, то теорема Нётер говорит нам, что лагранжиан будет иметь сохраняющуюся величину. Эта величина есть энергия. Если вы что-то знаете о лагранжианах, вы можете вычислить это явно. По всем этим словам можно найти множество ресурсов, которые можно найти в Google, со ссылками на то, как происходят эти вычисления. На дополнительные вопросы отвечу в редакциях.

Проблема здесь не в том, что энергию нужно определять более строго, как все остальное. Проблема в том, что вы делаете неверное предположение, что все остальное можно строго определить раз и навсегда. Например:

«[...]используя нашу интуицию, мы знаем, каким должен быть импульс, а также мы знаем, что определение его как p = mv является хорошим определением».

На самом деле это не работает. Например, луч света имеет нулевую массу и ненулевой импульс, поэтому p=mv неверно для света. Если интуиция подсказывала вам p=mv, она ошибалась.

Общий способ определения сохраняемой величины состоит в том, чтобы выбрать что-то, что является вашим стандартным количеством этой величины, а затем использовать эксперименты, чтобы выяснить, сколько различных вещей может быть преобразовано в этот стандарт. Например, если вы выберете массу 1,00 кг, движущуюся со скоростью 1,00 м/с, в качестве определения единицы импульса, то в ходе экспериментов вы обнаружите, что ее импульс можно обменять на движение со скоростью 2,00 м/с для массы 0,50 кг. . Это естественным образом приводит к гипотезе, что p=mv. Дальнейшие эксперименты, похоже, подтверждают эту гипотезу. Но затем, в конце концов, вы проводите эксперименты с электронами, движущимися со скоростью 30% скорости света, или с лучами света, и обнаруживаете, что p=mv неверно. Это было лишь приближение, допустимое при некоторых обстоятельствах. Вы вынуждены пересмотреть свое определение p. Это чисто эмпирический процесс.

То же самое и с энергией. Единственный подход, который принципиально работает, — это определить что-то как стандартную единицу энергии. Это может быть энергия, необходимая для нагревания 0,24 г воды на 1 градус Цельсия. Тогда эксперименты покажут, что вы можете обменять это количество энергии на кинетическую энергию объекта массой 2,00 кг, движущегося со скоростью 1,00 м/с. В конечном счете, все, что вы можете сделать, это действовать эмпирически.

«[...] недавно я услышал, что в общей теории относительности утеряны некоторые законы сохранения [...]»

Да, и именно поэтому я не согласен с ответом Джерри Ширмера. Он говорит, что энергия — это сохраняющееся количество, которое вы получаете из-за инвариантности к переносу во времени. Но эта процедура не работает в GR. С технической точки зрения соответствующая симметрия становится инвариантностью к диффеоморфизму, а это не удовлетворяет требованиям теоремы Нётер. Более фундаментальная причина, по которой это не может работать в ОТО, заключается в том, что в ОТО энергия-импульс является вектором, а не скаляром, и вы не можете иметь глобальное сохранение вектора в ОТО, потому что параллельный перенос векторов в ОТО — это путь. -зависимый и, следовательно, неоднозначный. Что вы можетев ОТО определяют локальное (не глобальное) сохранение энергии-импульса. Даже если технические подробности загадочны, я думаю, что этот контрпример показывает, что, хотя теорема Нётер действительно дает более глубокое понимание того, откуда берутся законы сохранения, окончательное определение сохраняющихся величин все еще является эмпирическим.

Кстати, в «Фейнмановских лекциях» есть хорошее изложение этой философской позиции. Он обсуждает сохранение энергии, используя метафору слона, который движется по шахматной доске и всегда остается на одном и том же цвете. Хотя эта трактовка предназначена для людей, которые ничего не знают о теореме Нётер или общей теории относительности, я думаю, что его философская позиция очень хорошо подтверждается в полном контексте того, что в настоящее время известно обо всей физике.

Точные определения применимы только к конкретным моделям. Один из наиболее поучительных для энергии исходит из специальной теории относительности, где пространство и время не независимы, а скорее являются частью единой сущности, пространства-времени.

Направленные величины в SR имеют не только компоненты в пространственных направлениях x, y и z, но также четвертую (или, по соглашению, нулевую) компоненту во временном направлении. Для импульса этой составляющей является (с точностью до постоянного множителя) энергия.

Оказывается, что$\vec p=m\vec v$менее фундаментален, чем$\vec p=\gamma m\vec v$которая является пространственной частью 4-вектора

$$p^\mu=\gamma m\begin{pmatrix} c \\ v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}$$ куда $\gamma = 1/\sqrt{1-(v/c)^2}$.

В качестве

$$\gamma = 1 + \frac 12 (\frac vc)^2 + \mathcal O((\frac vc)^4)$$ релятивистское определение $\vec p$согласуется с классическим для $v\ll c$.

Вставка нашего приближения до второго порядка в определение 4-импульса дает

$$p^0\approx mc + \frac{mv^2}{2c} = \frac 1c \left( mc^2 + \frac 12 mv^2 \right) = \frac 1c \left( E_\mathrm{rest}^\mathrm{Einstein} + E_\mathrm{kin}^\mathrm{Newton} \right)$$

Параметр$\vec v = 0$, это также показывает, что энергия покоя и масса, по сути, одно и то же (они отличаются только постоянным множителем). Важно отметить, что энергия покоя включает внутреннюю энергию связи, что приводит к дефекту масс в ядерных реакциях.

Определения физических величин в физике зависят от контекста. Например, определение энергии в классической общей теории относительности отличается от определения, используемого в квантовой физике стандартной модели. У нас еще нет самой «фундаментальной» теории физики, поэтому мы не знаем, каким будет фундаментальное определение энергии и будет ли оно вообще. Возможно, энергия возникает на уровне квантовой гравитации, поэтому у нее нет фундаментального определения. Мы не узнаем, пока не поймем квантовую гравитацию лучше, чем сейчас.

Однако существует общая теория об энергии и ее связи с инвариантностью к сдвигу во времени, воплощенная в теореме Нётер. Теорема говорит, что существует сохраняющаяся величина, связанная с любой симметрией природы. Энергия связана с симметрией времени, в то время как импульс связан с перемещением в пространстве, угловой момент связан с вращением, заряд связан с электромагнитной калибровочной инвариантностью и т. д.

Первоначально теорема Нётер была сформулирована и доказана для классических систем, но есть также версия, которая работает для квантовой физики, поэтому можно сказать, что энергия определяется как величина, вытекающая из теоремы Нётер, которая связана с инвариантностью во времени. Это может быть самое фундаментальное определение, которое мы можем дать сейчас, но оно зависит от контекста известной в настоящее время физики, и мы понятия не имеем, сохранится ли оно в той или иной форме на более фундаментальных уровнях теории, чем известные в настоящее время.

Когда мы говорим об инвариантности во времени в теореме Нётер, мы имеем в виду тот факт, что полные законы физики не меняются со временем. Ранняя Вселенная, возможно, сильно отличалась от той, в которой мы живем сейчас, но законы физики были теми же. Это означает, что теорема Нётер отлично работает, например, в общей теории относительности. Вселенная может расширяться, а космология может развиваться, но уравнение поля Эйнштейна для гравитации всегда одно и то же, поэтому энергия сохраняется. Многие люди, особенно на этом форуме, оспаривают это, но они ошибаются. Аргументы на этот счет, приведенные в других ответах здесь, ошибочны. Энергия сохраняется в ОТО без оговорок об особых случаях или глобальном значении. Подробные опровержения отдельных утверждений см. на http://vixra.org/abs/1305.0034 .

Если кто-то думает, что я звучу как одинокий голос, противоречащий господствующей точке зрения, то это не так. Когда я написал в недавнем эссе FQXi о том, как энергия сохраняется в ОТО, несмотря на утверждения об обратном, Карло Ровелли ответил, написав: «Я не вижу в том, что вы говорите, ничего, что выходит за рамки того, что написано во всех книгах по ОТО о сохранении энергии в ГР. Об этом имеется обширная литература». Он в основном прав. Вы найдете объяснение сохранения энергии в книгах по гравитации Вайнберга, Дирака, Ландау и Лифшица и т. д. Это хорошо описано в Википедии, и даже была присуждена Нобелевская премия за применение сохранения энергии в ОТО к двойным пульсарам. Идея о том, что энергия не сохраняется в ОТО, является мемом, увековеченным в некоторых блогах и форумах, подобных этому. Это происходит из статьи, написанной на эту тему в FAQ по физике несколько лет назад, которую, к сожалению, я не смог изменить. Не обманывайте себя.