Проделанная работа изменяется между системами отсчета?

Тут есть одна тонкость. Сформулируем задачу следующим образом: скажем, у бортпроводника есть количество энергии E, необходимое для разгона его тележки до скорости$v_2$по отношению к самолету. Если он сделает это, пока самолет стоит на земле, полная энергия тележки составит$\frac{\text{mv}_2^2}{2}$. Если он сделает это, когда самолет в воздухе летит на скорости$v_1$, то полная энергия тележки равна$\frac{\text{mv}_2^2}{2}+\text{mv}_1 v_2$что больше, чем полная энергия тележки в первом случае, даже несмотря на то, что помощник проделал одинаковую работу в обоих случаях. Итак, у нас, похоже, парадокс.

Ключом к разгадке парадокса является признание того, что когда бортпроводник толкает тележку вперед, он толкает остальную часть самолета назад с небольшой скоростью. Это небольшое уменьшение скорости самолета может показаться настолько ничтожным, что им можно пренебречь, но если принять во внимание тот факт, что кинетическая энергия самолета пропорциональна его (очень большой) массе, даже небольшое уменьшение скорости самолета может сыграть здесь существенную роль при рассмотрении изменений энергии. Вы обнаружите, что уменьшение кинетической энергии самолета компенсирует проблему.$\text{mv}_1 v_2$так что полная энергия, сообщаемая всей системе (самолет+тележка) сопровождающим, одинакова в обоих случаях.

Или, по-другому, если вам нужно, чтобы самолет поддерживал точно такую ​​же скорость$v_1$несмотря на то, что стюардесса вдруг решает толкнуть свою тележку вперед со скоростью$v_2$, то двигатели самолета должны кратковременно работать немного интенсивнее, чтобы поддерживать скорость$v_1$против силы, создаваемой ногами бортпроводника, пытающегося толкнуть остальную часть самолета немного назад, когда он толкает тележку вперед. Эта дополнительная энергия, обеспечиваемая двигателями самолета, оказывается$\text{mv}_1 v_2$что является дополнительной энергией, о которой вы задавались вопросом в своей первоначально заявленной проблеме.

Попробуйте решить задачу самостоятельно полностью и с учетом того, что у самолета есть большая (но конечная) масса M, а у тележки меньшая масса m. Предположим, что самолет имеет большую скорость$v_1$и что внезапно выделяется количество энергии, которое толкает тележку вперед со скоростью$v_2$относительно центра масс тележки+самолета. Используя закон сохранения импульса, посмотрите, насколько самолет в результате замедлится. Затем подсчитайте общую энергию до и после и посмотрите, как они сравниваются.

Что ж, нет никакой априорной причины ожидать, что работа будет релятивистским инвариантом.