Специальная теория относительности - об одновременности событий во время парадокса поезда

Почему дверь, которая находится дальше от поезда, закрывается первой?

Под наблюдением в СТО мы не подразумеваем «видеть» , мы подразумеваем, по существу, запись времени и места событий по стержням и (синхронизированным) часам в состоянии покоя. Например,

• Предположим, что впереди и сзади поезда стоят одинаковые часы, синхронизированные в корпусе поезда .
• Далее предположим, что на концах туннеля стоят одинаковые часы, синхронизированные в кадре туннеля .

В силу относительности одновременности часы в поезде не синхронизированы в кадре туннеля, где видно, что часы впереди отстают от часов сзади.

Симметрично часы в туннеле не синхронизированы в кадре поезда, где наблюдается отставание часов на входе в туннель от часов на выходе.

• Наконец, предположим, что сжатый по длине поезд в раме туннеля как раз помещается внутри туннеля.

Таким образом, по тоннельным часам есть момент , когда законтрактованный поезд полностью находится в тоннеле.

Но помните, в туннеле часы поезда не синхронизированы. В частности, поскольку часы в передней части поезда отстают от часов в задней части, должно быть так, что, как показывают часы в поезде , дверь на выходе из туннеля закрывается раньше, чем дверь в подъезде.

То есть в кадре поезда передняя часть поезда как раз достигает выхода, дверь там закрывается на мгновение, не задев поезд, и остается хвостовая часть поезда, которая еще не вошла в туннель .

Когда задняя часть поезда просто пересекает вход в туннель, дверь на входе закрывается на мгновение, не задев поезд, и передняя часть поезда вышла из туннеля.

Как всегда, я рекомендую вам нарисовать пространственно-временную диаграмму этой последовательности событий, чтобы получить лучшее представление о том, как это работает.

Пусть системы-фреймы:$\;\mathrm{S}\;$система тоннеля и$\;\mathrm{S'}\;$система Поезда. Поезд движется со скоростью$\;v\;$от минусов к плюсам$\;x-$ось$\;\mathrm{S}\;$как на рисунке 1.

Теперь в нашем случае мы имеем следующие два одновременных события в$\;\mathrm{S}\;$:

$$\begin{align} \mathrm{B} = & \;\text{the back end of the train is at the entrance of the tunnel and the back door} \tag{01.B}\\ &\; \text{ of the tunnel is closed instantaneously.} \nonumber\\ \mathrm{F} = & \;\text{the front end of the train is at the exit of the tunnel and the front door} \tag{01.F}\\ &\; \text{of the tunnel is closed instantaneously.} \nonumber \end{align}$$

Итак, для туннельного наблюдателя длина покоящегося туннеля и движущегося поезда одинакова, пусть$\;L\;$как на рис. 1. Предположим, что туннельный наблюдатель устанавливает свое пространственно-временное начало в событии$\;\mathrm{B}$так что для координат мы имеем:

$$\begin{align} \left(x_\mathrm{B}\,,t_\mathrm{B}\right) & =\left(0\,,0\right) \tag{02.B}\\ \left(x_\mathrm{F}\,,t_\mathrm{F}\right) & =\left(L\,,0\right) \tag{02.F} \end{align}$$ Определить пространственно-временные координаты этих двух событий в системе Поезда.$\;\mathrm{S'}\;$мы будем использовать преобразование Лоренца, выраженное с разностями $$\begin{align} \Delta x' & =\gamma\left(\Delta x-v\,\Delta t\right) \tag{03.1}\\ \Delta t' & =\gamma\left(\Delta t-\dfrac{\,v\,}{c^2}\Delta x\right) \tag{03.2} \end{align}$$ Для удобства предположим, что наблюдатель поезда устанавливает свое пространственно-временное начало в событии$\;\mathrm{B}\;$также, как на рисунке 2, так для координат событий в системе Поезда$\;\mathrm{S'}\;$у нас есть : $$\begin{align} \left(x'_\mathrm{B}\,,t'_\mathrm{B}\right) & =\left(0\,,0\right) \tag{04.B}\\ \left(x'_\mathrm{F}\,,t'_\mathrm{F}\right) & =\left(???\,,???\right) \tag{04.F} \end{align}$$

Так

$$\begin{align} \Delta x'_\mathrm{FB} & =\gamma\left(\Delta x_\mathrm{FB}-v\,\Delta t_\mathrm{FB}\right) \Longrightarrow x'_\mathrm{F}-x'_\mathrm{B}=\gamma\left[\left(x_\mathrm{F}-x_\mathrm{B}\right)-v\,\left(t_\mathrm{F}-t_\mathrm{B}\right)\right] \Longrightarrow \nonumber\\ x'_\mathrm{F} & =\gamma\,L \tag{05.1}\\ \Delta t'_\mathrm{FB} & =\gamma\left(\Delta t_\mathrm{FB}-\dfrac{\,v\,}{c^2}\Delta x_\mathrm{FB}\right)\Longrightarrow t'_\mathrm{F}-t'_\mathrm{B}=\gamma\left[\left(t_\mathrm{F}-t_\mathrm{B}\right)-\dfrac{\,v\,}{c^2}\,\left(x_\mathrm{F}-x_\mathrm{B}\right)\right] \Longrightarrow \nonumber\\ t'_\mathrm{F} & =-\dfrac{\gamma \,v\,}{c^2}\,L \tag{05.2} \end{align}$$ Но так как для скорости$\;v >0$ $$\begin{equation} t'_\mathrm{F} =-\dfrac{\gamma \,v\,}{c^2}\,L < 0 = t'_\mathrm{B} \tag{06} \end{equation}$$ то есть в системе Поезда$\;\mathrm{S'}\;$ событие$\;\mathrm{F}\;$происходит до события$\;\mathrm{B}\;$по интервалу времени $$\begin{equation} \vert \Delta t'_\mathrm{FB} \vert =\vert t'_\mathrm{F}-t'_\mathrm{B} \vert=\dfrac{\gamma \,v\,}{c^2}\,L \tag{07} \end{equation}$$ Так как в системе Поезда$\;\mathrm{S'}\;$передний и задний конец поезда покоятся по координатам$\;x'_\mathrm{F} =\gamma\,L\;$и$\;x'_\mathrm{B} =0\;$соответственно, для длины поезда в системе покоя имеем, как и ожидалось,
$$\begin{equation} \text{Length of the train in its rest frame}=\vert \Delta x'_\mathrm{FB} \vert =\vert x'_\mathrm{F}-x'_\mathrm{B} \vert=\gamma\,L \tag{08} \end{equation}$$ Теперь наблюдатель за поездом в задней части поезда в момент события$\;\mathrm{F}\;$происходит, то есть на$\;x'_\mathrm{B} =0\;$в$\;t'_\mathrm{F}=-\gamma\,v\,L/c^2 \;$, встретится с задним входом в туннель в момент времени$\;t'_\mathrm{B}=0\;$, то есть через промежуток времени$\;\vert \Delta t'_\mathrm{FB}\vert \;$уравнения (07). Но, так как туннель движется со скоростью$\;v\;$от плюсов к минусам$\;x'-$ось, задний конец поезда и задний вход в туннель в момент времени$\;t'_\mathrm{F}\;$находятся на расстоянии
$$\begin{equation} v\, \vert \Delta t'_\mathrm{FB} \vert =\dfrac{\gamma \,v^2\,}{c^2}\,L= \gamma \left(1-\dfrac{1}{\gamma^2}\right)L= \left(\gamma-\dfrac{1}{\gamma}\right)L \tag{09} \end{equation}$$ Это длина задней части поезда вне туннеля в момент времени.$\;t'_\mathrm{F}$. Это также длина передней части поезда вне туннеля в момент времени.$\;t'_\mathrm{B}$, см. рис. 2. С другой стороны, из этого же рисунка имеем
$$\begin{equation} \text{Length of the tunnel in the Train frame }\mathrm{S'} =\gamma\,L-\left(\gamma-\dfrac{1}{\gamma}\right)L=\dfrac{L}{\gamma} \tag{10} \end{equation}$$ как и ожидалось.

Диаграмму пространства-времени см. на рисунке 3.

Числовой пример

Позволять

$$\begin{align} \dfrac{\,v\;}{c} & =0.60 \tag{NE.1}\\ L & =100\,m \tag{NE.2} \end{align}$$ затем $$\begin{equation} \gamma = 1.25\,,\quad \dfrac{\,1\;}{\gamma}=0.80 \tag{NE.3} \end{equation}$$

Длина поезда в состоянии покоя равна$\;\gamma\,L = 1.25\times 100\,m= 125\,m\;$заключил контракт с$\;L = 100\,m\;$в раме тоннеля.

Длина тоннеля в системе покоя равна$\;L = 100\,m\;$заключил контракт с$\;L/\gamma = 80\,m\;$в раме поезда.

Длина части поезда в его опорной раме вне туннеля равна$\;(\gamma-\gamma^{-1})L=(1.25-0.80)\times 100\,m= 45 \,m$.

Два одновременных события в$\;\mathrm{S}\;$находятся в$\;\mathrm{S'}\;$разделены временным интервалом$\;\gamma (v / c)(L/c)=1.25\times 0.60 \times 10^2\,m/(3\cdot 10^8\,m/sec) = 0.25\cdot 10^{-6}sec =0.25\mu s$.

Описание СТО Джорджем Гамовым «мистер Томпкинс» неверно.

Как уже говорили другие авторы, СТО НЕ предсказывает , что наблюдатель увидит , что движущиеся объекты лоренцевы. Это убеждение, по-видимому, возникло из-за ошибки в популярных книгах Джорджа Гамова « Мистер Томпкинс », которые распространились в секторе образования, как инфекция. Это неправильно. Гамов был уважаемым физиком, но любой порядочный учитель физики поставил бы ему неудовлетворительную оценку по специальной теории относительности.

Чтобы понять, как это на самом деле работает, вам нужно немного узнать о временных задержках распространения сигнала.

---

Предположим, что скорость света «действительно» фиксирована относительно туннеля. Как только поезд окажется в туннеле, наблюдатель туннеля у первой двери увидит доплеровское красное смещение E'/E = c/(c+v) , а также красное смещение Лоренца. Умноженные вместе, это дает физическое предсказание SR

E'/E = c/(c+v) × gammaShrink = SQRT[(cv)/(c+v)]

Но временной лаг наблюдения на более дальнем конце поезда делает его кажущееся положение устаревшим — он кажется ближе, чем его реальное положение, и в результате поезд кажется короче, на Лен'/Лен = c/ ( в+в) . Но СТО также говорит, что поезд движется и сжимается по закону Лоренца, поэтому общая длина, показанная на фотографии, сделанной этим наблюдателем, равна

Len'/Len = c/(c+v) × gammaShrink = SQRT[(cv)/(c+v)]

---

Обратите внимание, что пропорциональное изменение видимой сфотографированной длины идентично пропорциональному изменению видимой сфотографированной частоты . Эта эквивалентность является довольно общей для различных теорий и может даже быть универсальным законом.

---

Теперь предположим, что скорость света «действительно» фиксирована относительно поезда. Как только поезд окажется в туннеле, наблюдатель туннеля у первой двери увидит другое красное смещение доплеровского отступления из-за временных задержек распространения сигнала, E'/E = (cv)/c , а также синее смещение Лоренца (потому что мы теперь говорят, что поезд стоит, а тоннель движется, и время растянуто). Умноженные вместе, это дает физическое предсказание SR

E'/E = (cv)/c × gammaStretch = SQRT[(cv)/(c+v)]

Опять же, временная задержка наблюдения на более удаленном переднем конце поезда делает его кажущееся положение устаревшим, и он кажется ближе, чем его реальное положение, что делает его короче. Но новый прогноз на основе распространения теперь Len'/Len = (cv)/c . Но СТО также говорит, что туннельный наблюдатель движется, а его эталонные линейки сжаты по длине, поэтому они видят поезд вытянутым по Лоренцу , что дает общую сфотографированную длину:

Len'/Len = (cv)/c × gammaStretch = SQRT[(cv)/(c+v)]

---

Независимо от того, в каком кадре предполагается фиксированная скорость света, в поезде, в туннеле или в чем-то другом, и независимо от того, должна ли фотография наблюдателя туннеля включать лоренцево сжатие или лоренцево расширение, результирующая фотография идентична.

Фотография SR не может сказать вам, видите ли вы сокращение или удлинение, или вообще никакого эффекта. Выбор предполагаемой системы отсчета для распространения света не имеет никакого значения для реальной физики. В этом и заключается гениальность специальной теории относительности — она утверждает, что свет можно рассматривать как движущийся с фиксированной скоростью в плоской фиксированной системе отсчета, но это делает абсолютно невозможным для кого-либо определить по тому, что он видит, какая это система.

Что касается того, кажется ли поезд длиннее туннеля или короче ... это зависит только от того, где стоит наблюдатель со стороны пути. Если наблюдатель со стороны пути стоит у входа в первый туннель, удаляющийся поезд кажется укороченным и на фотографии он полностью помещается внутри туннеля с запасом места. Если наблюдатель со стороны пути находится рядом со вторым входом в туннель, то из-за того, что эффект временной задержки сигнала сильнее, чем эффект Лоренца, приближающийся поезд кажется длиннее и на фотографии кажется длиннее туннеля и торчит с обоих концов.

Физическое сообщество, казалось, не понимало этого до 1960-х годов, когда статья Джеймса Террелла вызвала шквал статей в Американском журнале физики, все соглашались с тем, что лоренцево сокращение не было видно напрямую, и что некоторые люди неверно истолковывал лингвистические описания СТО вместо того, чтобы относиться к нему как к 100% «сырому» геометрическому упражнению.

Существует заблуждение, что длина на самом деле сокращается, а время течет медленно для объекта, движущегося очень быстро. Относительность симметрична, поэтому независимо от того, что наблюдает система покоя, движущаяся система наблюдает именно это, но направление движения меняется на противоположное. Теперь перейдем к тому, что означает сокращение длины.

Это происходит из-за замедления времени и введено для компенсации разницы во времени между быстрым и медленным движением. Но наблюдатель настаивает на том, что в пространстве-времени и быстрое, и медленное движение движется с одинаковой скоростью, потому что при добавлении или увеличении длины в форме времени умножается на относительную скорость. Так что больше времени медленного объекта, теперь он имеет большую длину, создает впечатление той же скорости.

В классической теории относительности, если$l'$это длина объекта или расстояние, пройденное светом или чем-либо другим, тогда расстояние, видимое из относительной системы отсчета в состоянии покоя, наблюдайте,

$$l=l'+vt\Rightarrow\frac{l}{t}=\frac{l'}{t}+\frac{vt}{t}\\ \Rightarrow c=c'+v$$ Теперь, если кто-то задается вопросом об универсальности времени или о том, как время считается одинаковым при относительном движении, то как они могут установить относительную скорость?$v$если время не одинаково в обоих кадрах.

Парадокс становится абсурдом, если поезд длиннее туннеля. На самом деле специальная теория относительности предсказывает, что бесконечно длинные объекты могут быть заперты внутри бесконечно коротких контейнеров:

http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/barn_pole.html «Это реквизит. У вас есть сарай длиной 40 м с автоматическими дверями на обоих концах, которые можно открывать и закрывать. одновременно стрелкой.У вас же есть столб длиной 80м, который конечно в сарай не влезет.[...] Итак, когда столб проходит через сарай, есть момент, когда он полностью находится внутри амбар. В этот момент вы одновременно закрываете обе двери своим выключателем. [...] Если он не взорвется под напряжением и будет достаточно эластичным, он остановится и начнет возвращаться в свою естественную форму, но поскольку он слишком велик для амбара, другой конец сейчас врежется в заднюю дверь, и стержень в сжатом состоянии застрянет внутри амбара».

Посмотрите на 7:12 на видео ниже, как поезд застрял «в сжатом состоянии» внутри туннеля:

http://www.youtube.com/watch?v=Xrqj88zQZJg "Релятивистский поезд Эйнштейна в туннельном парадоксе: специальная теория относительности"

Нетрудно понять, что запирание длинных предметов внутри коротких контейнеров резко нарушает закон сохранения энергии. Захваченный объект, пытаясь восстановить свой первоначальный объем («возвратиться к своей естественной форме»), произвел бы огромное количество работы, энергия для которой берется из ниоткуда.

В 9:01 на приведенном выше видео Сара видит поезд, падающий в дыру, и, чтобы спасти теорию относительности Эйнштейна, авторы видео сообщают миру, что Адам тоже видит поезд, падающий в дыру. Однако Адам может увидеть это только в том случае, если поезд сначала подвергнется абсурдному распаду, как показано на 9:53.

Ясно, что мы имеем reductio ad absurdum: требуется абсурдный распад — Адам его видит, Сарра — нет. Вывод: основная предпосылка, постулат Эйнштейна о постоянной скорости света 1905 года, неверна.