Достаточно ли 8 уравнений Максвелла, чтобы вывести формулу электромагнитного поля, создаваемого стационарным точечным зарядом, которая совпадает с законом Кулона?
Если условия нужны, то какие они для описанной выше ситуации (поле стационарного точечного заряда)?
Короткий ответ — да, и на самом деле вам нужно только одно-единственное уравнение Максвелла, закон Гаусса, вместе с силой Лоренца, чтобы получить закон Кулона.
В частности, вам нужен закон Гаусса в его интегральной форме, которая эквивалентна дифференциальной форме для полей с хорошим поведением из- за теоремы Гаусса . Таким образом, вы используете закон
Чтобы вывести закон Кулона, рассмотрим электрическое поле одной точечной частицы, не имеющей ничего другого во Вселенной. Из-за изотропии (которую следует добавить в качестве дополнительного постулата) электрическое поле на сфере радиусом центр заряда должен быть радиальным и иметь одинаковую величину на всем протяжении. Это означает, что интеграл тривиален и электрическое поле должно быть
В сочетании с законом силы Лоренца при нулевой скорости пробной частицы (поскольку закон Кулона выполняется только в электростатике) это дает закон Кулона.
Не очевидно, что эта в высшей степени симметричная ситуация может дать общую электростатическую силу для множества частиц. Это следует из принципа суперпозиции, лежащего в основе классической электродинамики и выводимого из линейности уравнений Максвелла. Это дает вам поле для одного источника; добавьте поля для всех отдельных источников, и вы получите поле для коллекции источников.
Точный вывод выглядит следующим образом. Вы начинаете с закона Гаусса, интегрируете обе стороны по некоторому объему V:
Теперь вы используете закон силы Лоренца (где ):
Если вы спрашиваете о законе Колумба для электрических полей , да , вы можете увидеть ответы других.
Если вы спрашиваете о законе Колумба для электрической силы ,
Уравнения Максвелла НЕ говорят вам о том, как сила, действующая на заряды, или токи .
Проще говоря, чтобы ПОЛНОСТЬЮ понять классический E&M (т. е. можно определить физику по проблеме с начальными значениями, чтобы определить все ее последствия — физика собирается определить/предсказать будущее), вам нужны ОБА:
(1) Уравнения Максвелла
(2) Закон силы Лоренца (ньютоновская механика, E&M эквивалентность ньютоновской силы гравитации.)
Изюминка I: (1) и (2) абсолютно разные вещи.
Лагранжев и вариационный принцип Точка зрения EOM
Однако, если вы начнете с лагранжевой точки зрения, записав действие:
Уравнения Максвелла: EOM относительно переменного калибровочного поля 1-формы
Вы получаете уравнения Максвелла , варьируя :
Как насчет закона силы Лоренца? Вы можете сделать изменение относительно пространственной координаты , и вам нужно указать, какая массивная частица с массой испытывать силу , который по ньютоновской механике. Чтобы указать массивную частицу в лагранжиане/действии, вам просто нужно добавить ее кинетическую энергию .
Закон силы Лоренца: EOM относительно меняющихся координат пространства-времени
вы получите закон силы Лоренца
Изюминка II: Принципы действия и вариации очень сильны, чтобы объединить (1) уравнения Максвелла и (2) закон силы Лоренца в одной структуре.
Учитывая закон Гаусса И силу Лоренца, да, можно вывести закон Кулона, поскольку на него уже был дан ответ. Поэтому я думаю, что вопрос в том, можно ли вывести его, учитывая ТОЛЬКО четыре уравнения Максвелла (а не силу Лоренца). Ответ по-прежнему положительный, поскольку сила Лоренца эквивалентна закону Фарадея и может быть получена из него. Связь между законом Фарадея и силой Лоренца не является тривиальной в трехмерном пространстве, поскольку возникает парадокс Фарадея (см. вики). С другой стороны, когда электромагнетизм выражается в ковариантной формулировке, такого парадокса не существует.
Qмеханик
ахатрч
Дэниел Блей
Дани
ахатрч
ахатрч
Дани