Какая проводимость измеряется для холловского состояния квантового спина, когда холловская проводимость равна нулю?

Вероятно, это просто определение, но что сделали König et al. на самом деле измерить, когда он подтвердил существование поверхностных состояний в квантовых ямах CdTe/HgTe/CdTe ( см . проводимость? В чем разница между спиновой и зарядовой проводимостью? Я думал, что Кениг измерил проводимость заряда, которая в два раза превышала проводимость Холла ($e^2/h$) (Для меня это квантование...).?

Да, Кениг и др. действительно измерял проводимость заряда в квантовых ямах CdTe/HgTe/CdTe. Я думаю, что ваша дилемма является результатом смешивания описания свойств изолятора Холла квантового спина с наличием внешнего смещения и без него. Интуитивная картина встречно распространяющихся краевых состояний с противоположными спинами, неоднократно обсуждаемая в литературе, лишена внешнего смещения. Представьте себе двухмерный слой HgTe (в инвертированном режиме), который просто лежит там, и никто ничего с ним не делает. Сосредоточив внимание, скажем, на верхнем краю, у вас есть (скажем)$|\mathbf{k},\uparrow\rangle$распространяющееся вправо (с проводимостью$e^2/h$) и это партнер Крамера$|-\mathbf{k},\downarrow\rangle$пропаганда левых. В отсутствие внешнего смещения уровни Ферми обоих состояний равны. Поэтому проводимость заряда$\sigma^{\text{charge}} = e^2/h + (-e^2/h) = 0$(где знак минус исходит из того, что ток от$|-\mathbf{k},\downarrow\rangle$состояние течет в обратном направлении). Однако спиновой ток, идущий в одном направлении (скажем,$+\hat{x}$) и такая же величина спинового тока вниз, идущего в другом направлении ($-\hat{x}$) эквивалентно удвоенному значению спинового тока в$+\hat{x}$направление. Вот почему вы получаете спиновую проводимость$2e^2/h$.

Теперь, в König et al. транспортный эксперимент токи заряда из-за$|\mathbf{k}_{\text{top}},\uparrow\rangle$а также$|-\mathbf{k}_{\text{top}},\downarrow\rangle$не отменяют друг друга идеально. Другими словами (скажем) на верхнем крае квазифермиевский уровень$|\mathbf{k},\uparrow\rangle$больше квазифермиевского уровня$|-\mathbf{k},\downarrow\rangle$. Эта разница в уровнях Ферми будет соответствовать суммарному потоку электронов в$+\hat{x}$направление по верхнему краю. Этот чистый поток приводит к проводимости$e^2/h$. Однако на нижнем краю квазифермиевский уровень$|\mathbf{k}_{\text{bottom}},\downarrow\rangle$больше квазифермиевского уровня$|-\mathbf{k}_{\text{bottom}},\uparrow\rangle$. Таким образом, у вас снова есть чистый поток электронов в$+\hat{x}$направление по нижнему краю. Это порождает еще один канал с проводимостью$e^2/h$. Таким образом, общий вклад будет$2e^2/h$. То, что я только что описал выше, справедливо для двухполюсного измерения сопротивления (или проводимости). Если я пропущу ток$I$между двумя контактами, то напряжение (пропорционально разнице уровней Ферми в двух контактах) будет$V=(h/2e^2)I$. Способ количественной оценки этого анализа - использование формулы Ландауэра-Бюттикера.

$$I_{i}=\frac{e}{h}\sum_{j}\left(T_{ji}\mu_{i}-T_{ij}\mu_{j}\right)$$ где величины с одним нижним индексом указывают, к какому контакту относятся эти величины. Например, рассмотрим устройство с шестью терминалами следующим образом.

Вы можете наблюдать встречное распространение спина вверх (скажем, красный) и спин вниз (синий) по верхнему и нижнему краям. Количество$T_{ij}$представляет вероятность передачи электрона от контакта$i \rightarrow j$. Как видно только из рисунка$T_{i,i+1}$а также$T_{i+1,i}$будет ненулевым. Поскольку теория квантового спинового эффекта Холла предсказывает, что краевые состояния устойчивы к (немагнитному) беспорядку, мы должны иметь

$$T_{i,i+1}=T_{i+1,i}=1$$ т.е. совершенная (без диссипации) передача. Подставив это в формулу Ландауэра-Бюттикера (и предполагая, что ток, проходящий от контакта $1 \rightarrow 4$) выше вы получите шесть линейных уравнений с шестью неизвестными ${\mu_i}$: $$\frac{e}{h}\underbrace{\left(\begin{array}{cccccc} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right)}_{A} \underbrace{\left(\begin{array}{c} \mu_{1}\\ \mu_{2}\\ \mu_{3}\\ \mu_{4}\\ \mu_{5}\\ \mu_{6} \end{array}\right)}_{x} = I_{14}\underbrace{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ -1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)}_{b}.$$

Однако в этой системе уравнений (или$\det\left(A\right)=0$). Не все$\mu_i$действительно неизвестны. Мы можем установить$\mu_4 = 0$(т.е. опорный потенциал или земля). В этом случае вы можете свести систему уравнений к

$$\frac{e}{h}\left(\begin{array}{ccccc} -2 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \mu_{1}\\ \mu_{2}\\ \mu_{3}\\ \mu_{5}\\ \mu_{6} \end{array}\right)=I_{14}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ -1\\ 0 \end{array}\right).$$ Теперь, решая это, вы получаете $$\left(\begin{array}{c} \mu_{1}\\ \mu_{2}\\ \mu_{3}\\ \mu_{5}\\ \mu_{6} \end{array}\right)=\frac{I_{14}h}{e}\left(\begin{array}{ccccc} -2 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ -1\\ 0 \end{array}\right),$$ $$\left(\begin{array}{c} \mu_{1}\\ \mu_{2}\\ \mu_{3}\\ \mu_{5}\\ \mu_{6} \end{array}\right)=\frac{I_{14}h}{e}\left(\begin{array}{c} -3/2\\ -1\\ -1/2\\ -1/2\\ -1 \end{array}\right).$$ Разница напряжения на контактах $i$а также $j$является $$V_{ij}=\frac{1}{\left(-e\right)}\left(\mu_{i}-\mu_{j}\right).$$ Вы можете проверить это $$V_{14}=\left(\frac{3h}{2e^{2}}\right)I_{14}$$ а также $$V_{23}=\left(\frac{h}{2e^{2}}\right)I_{14}.$$

Это именно то, что Roth et. все экспериментально наблюдалось

Было подтверждено, что эти значения двух- и четырехполюсного сопротивления не зависят от геометрии образца ($L$а также$W$). В результате вы можете исключить любой тип проводимости, кроме краевых состояний. Кроме того, вы ожидаете, что эти значения сопротивления будут только в том случае, если вы предполагаете спиральные и бездиссипативные краевые состояния. Поэтому эти измерения должны подтвердить существование квантового спинового холловского состояния в HgTe.

Также: почему для каждого ребра существует только одно состояние спирального края? Почему у нас должно быть хотя бы одно и почему у нас не может быть, скажем, двух состояний на ребро?

Если бы у вас было, скажем, две пары встречно распространяющихся винтовых краевых состояний, то такая система не устойчива к беспорядку. Такая ситуация показана в части (а) (при отсутствии беспорядка) на рисунке ниже. Состояния, принадлежащие красной и синей полосам на одной высоте (т.е. с одинаковой энергией$E(\mathbf{k},\uparrow)=E(-\mathbf{k},\downarrow)$) образуют партнеров Крамерса. Области, заштрихованные коричневым цветом, представляют собой объемные полосы. Поскольку у вас есть две пары партнеров Крамерса, соответствующие полосы будут естественным образом пересекаться в двух точках (как показано в части (a)). Любой вид беспорядка приведет к разрыву состояний, как показано в части (b). Но обратите внимание, что такой процесс разрыва разрешен теоремой Крамерса. Быстрый способ увидеть это: посмотрите на отражение любой полосы относительно вертикали ($k=0$) ось. При таких отражениях красный должен переходить в синий и наоборот.

Теперь представьте, что у вас есть две копии дираковских винтовых граничных состояний. Другими словами, две копии части (d), наложенные друг на друга. Когда вы откроете систему, она будет выглядеть как часть (c). Вы можете заметить, что в части (c) симметрия обращения времени все еще сохраняется после разрыва. Однако в части (d) у вас есть только одна копия партнеров Крамерса. Имеется только одна точка пересечения (в отличие от частей (а) и (б)). Вы можете заметить, что нет никакого способа, которым вы можете открыть гэп (в$k=0$), но при этом удовлетворяет симметрии обращения времени. Более конкретно, введение зазора (в части (d)) только нарушит теорему Крамерса в точке$k=0$точка (т.е.$E(\mathbf{k},\uparrow)$а также$E(-\mathbf{k},\downarrow)$не будет равным в$k=0$). Следовательно, если беспорядок соблюдает симметрию обращения времени, то такое пересечение полос называется «защищенным симметрией обращения времени». В реалистичных системах, таких как квантовая яма HgTe, скажем, у вас есть$2n+1$Партнеры Крамерса. В таком случае беспорядок уничтожит таких партнеров Крамерса в$n$пар так, чтобы в конце осталась только одна пара. Существование нечетного числа пар гарантируется в топологически нетривиальной фазе. Фактически, именно так люди идентифицируют топологически нетривиальную фазу.

Поскольку спин-орбитальная связь нарушает сохранение спина, в эффекте QSH нет такой вещи, как квантованная проводимость SH. Это еще один способ понять, почему правильным топологическим инвариантом для эффекта QSH является$Z_2$и не$Z$. Наконец, гамильтониан BHZ предсказывает одно спиральное краевое состояние для каждого края.

Вы должны прочитать строки перед приведенными выше. Авторы упомянули, что спин не является хорошим квантовым числом. Когда вы вводите спин-орбитальную связь, гамильтониан становится диагональным в базисе полного углового момента . Полный угловой момент можно определить как

$$\hat{\mathbf{J}}=\hat{\mathbf{L}}+\hat{\mathbf{S}}$$ и вы можете пометить собственные состояния как $|j,m_j,s\rangle$куда $\hbar j(j+1)$, $\hbar m_j$, а также $\hbar s$являются собственными значениями $\hat{\mathbf{J}}^2$, $\hat{J}_z$, а также $\hat{S}_z$. В массе HgTe $m_j$является хорошим квантовым числом вместо $s$. Однако даже на грани $m_j$не сохраняется в из-за отсутствия вращательной симметрии. Я думаю, что авторы пытаются подчеркнуть разницу между квантованным спиновым эффектом Холла и квантовым спиновым эффектом Холла. Как я вскоре опишу, квантованный спиновый эффект Холла невозможен . Например, скажем, вы пытаетесь наблюдать спиновой аналог целочисленного квантового эффекта Холла. Вы пропускаете продольный ток в ферромагнитном материале (где спин сохраняется), тогда вы получите те же целые шаги $\mathbb{Z}$. В поперечном направлении будет происходить как вращение, так и накопление заряда. Эвристически это что -то вроде гибрида эффектов Холла вращения и заряда. Это также известно как квантовый аномальный эффект Холла. Но обратите внимание, что симметрия обращения времени в такой системе нарушается. В тот момент, когда вы вводите симметрию обращения времени $\mathbb{Z}$рушится до $\mathbb{Z}_2$. Если у вас был чистый спиновый эффект Холла, т.е. есть спин, но нет накопления заряда в поперечном направлении, то симметрия обращения времени сохраняется. Поэтому вы никогда не увидите квантованного (или $\mathbb{Z}$) спиновой эффект Холла.