Как объяснить БЭК невзаимодействующего бозона при 2-м квантовании? Как спонтанно нарушить U(1)U(1)U(1)-симметрию свободного бозона?

В каждом учебнике статистической механики приводится конденсация Бозе-Эйнштейна (БЭК) свободного бозона. Я знаю, как вывести таким образом. Это дает теплоемкость свободного бозона С ∝ Т 3 / 2 . Но для ЧАС е 4 мы знаем, что это взаимодействующий бозон С ∝ Т 3 . Поэтому, чтобы объяснить это, каждый учебник по конденсированным средам будет использовать 2-е квантование, чтобы переписать исходный гамитониан многих тел в полевом формализме. Для взаимодействующего бозона гамитониан поля равен

ЧАС "=" ∫ д 3 Икс 1 2 м | ∇ ф | 2 + U | ф ( Икс ) | 2 + г | ф ( Икс ) | 4
Для гелия 4, U < 0 и г > 0 , поэтому конфигурация поля минимальной энергии ф "=" с о н с т . ≠ 0 , таким образом, происходит спонтанное нарушение симметрии U ( 1 ) , а по теореме Голдстоуна дает безмассовое возбуждение, что объясняет С ∝ Т 3 .

Все разумно выше. Однако как использовать обратное 2-е квантование для объяснения БЭК невзаимодействующего бозона?

Мои вопросы:

  1. Для свободного бозона гамитониан поля теперь

    ЧАС "=" ∫ д 3 Икс 1 2 м | ∇ ф | 2
    Седловая точка конфигурации поля теперь ф ( Икс ) "=" с о н с т . для ∀ с о н с т . е С , не обязательно быть ненулевым. Как объяснить макроскопическое число заполнения основного состояния?

  2. Как использовать гамитониан поля для объяснения БЭК невзаимодействующего бозона в потенциальной яме, подобной гармонической потенциальной яме? В этом случае,

    ЧАС "=" ∫ д 3 Икс 1 2 м | ∇ ф | 2 + 1 2 Икс 2 | ф ( Икс ) | 2
    Конечно, минимальная энергетическая конфигурация ф ( Икс ) "=" 0 .

  3. Конечно, два вышеупомянутых случая должны быть в состоянии иметь BEC. Тогда для свободного бозона и невзаимодействующего бозона в потенциальной яме БЭК спонтанно нарушает U ( 1 ) симметрия? Если да, то по теореме Голдстоуна должно существовать безмассовое возбуждение , так почему же теплоемкость свободного бозона не пропорциональна теплоемкости свободного бозона? Т 3 ? Если нет, это будет противоречить парадигме фазового перехода Ландау, согласно которой SSB приводит к фазовому переходу 2-го рода. Как объяснить? В связи с моим другим вопросом .

Явления конденсации появляются при рассмотрении физики равновесия, связанной с данным гамильтонианом. Запись гамильтониана при первом или втором квантовании не должна иметь никакого значения при построении равновесного сценария. Что касается теоремы Голдстоуна, вы уверены, что это причина С ∝ Т 3 ? Это также может быть связано с законом дисперсии, который различается для взаимодействующих бозонов.
@Тони С ∝ Т 3 всегда связано с законом дисперсии ϵ ( п ) ∝ п в 3 измерении. Это безмассовое возбуждение.
Хорошо, ϵ ( п ) ∝ п на низком уровне п верно только для взаимодействующих бозонов. Но ϵ ( п ) ∝ п 2 мне кажется безмассовым.
@Тони ϵ ( п ) ∝ п 2 представляет собой сильное возбуждение. Коэффициент этого радио зависит от массы.
Нет, он безмассовый, ϵ ( п ) ∝ п 2 + м является массивным.
@Tony Ты имеешь в виду, что безмассовый ⇔ беспросветный, массивный ⇔ зазор?
Я думаю, что ваше понимание BEC неверно; на уровне среднего поля, чтобы быть в конденсированной фазе, ожидаемое значение поля, ⟨ ф ⟩ , не должен исчезать; это отличается от значения поля, которое минимизировало бы классическое действие. Флуктуации (тепловые или квантовые) попытаются разрушить это неисчезающее математическое ожидание среднего поля, что приведет к распаду конденсированной (упорядоченной) фазы.
Во-вторых, BEC определяется «аномальным» (ненулевым) значением ожидания для поля; т.е., 0 ≠ ⟨ ф ⟩ е С , а не просто постоянное значение поля, которое может минимизировать классическое действие.
Невзаимодействующие БЭК не нарушают спонтанно U ( 1 ) симметрия. Спонтанное нарушение симметрии может произойти только при наличии бесконечного числа взаимодействующих степеней свободы.

Ответы (1)

Как было указано в комментариях, тот факт, что ф "=" 0 минимизирует классическое действие недостаточно для установления отсутствия SSB. На самом деле, даже вычисление ожидаемого значения ⟨ ф ( Икс ) ⟩ недостаточно; на самом деле это математическое ожидание всегда равно нулю при расчете по отношению к большому каноническому ансамблю (это забавное упражнение, чтобы доказать это). Скорее, правильный способ диагностировать спонтанное нарушение симметрии - через дальнобойность двухточечной корреляции.

лим | Икс − у | → ∞ ⟨ ф † ( Икс ) ф ( у ) ⟩
Когда есть SSB, это становится ненулевым значением, в противном случае оно становится равным нулю. В самом деле, выражая ф ( Икс ) как преобразование Фурье оператора аннигиляции фермионов а к в импульсном пространстве обнаруживается, что этот предел фактически равен макроскопическому заполнению к "=" 0 состояние, отличное от нуля даже для свободных бозонов.

Что касается вопроса о голдстоуновских бозонах, то невзаимодействующий БЭК имеет бесщелевые возбуждения; вы просто добавляете еще один бозон в состоянии, отличном от к "=" 0 состояние. Но так как они нерелятивистские частицы, закон дисперсии Е ∼ к 2 . Это правильно дает ∼ Т 3 / 2 удельная теплоемкость. Чтобы получить ∼ Т 3 удельная теплоемкость, вам понадобится линейное дисперсионное соотношение Е ∼ | к | , что и происходит в случае взаимодействия. В нерелятивистских системах теорема Голдстоуна не обязательно требует, чтобы бозоны Голдстоуна имели линейную дисперсию; другим примером случая, когда вы получаете квадратичную дисперсию, являются спин-волновые возбуждения ферромагнетиков.

Как объяснить БЭК невзаимодействующего бозона при 2-м квантовании? Как спонтанно нарушить U(1)U(1)U(1)-симметрию свободного бозона?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v