Подразумевает ли специальная теория относительности, что на замедление времени влияет ориентация часов?

Ответ на заглавный вопрос: абсолютно нет .

---

Экспериментальный пробный камень

Прежде чем мы подробно объясним, давайте начнем с того, что отметим, что интерферометрический эксперимент Майкельсона-Морли явно проверяет, влияет ли ориентация на поведение синхронизации пути туда-обратно. И довольно лихо ответ "нет". Это должно быть верно для любого инерциального наблюдателя. ¹

Так почему же во всех вводных материалах используются поперечные часы?

На самом деле это хороший вопрос, и ответ (по крайней мере, помимо «Ну, это то, что сделал Эйнштейн!» ) требует внимательного изучения того, как объяснение будет работать с продольными часами.

Что происходит , тогда?

Короткая версия проста: на продольные световые часы влияет как сокращение длины, так и замедление времени . ² Из этого следует, что с дидактической точки зрения вы хотите сначала разработать одно из правил (замедление времени или сокращение длины), а ко второму обратиться отдельно, а не пытаться работать с ними одновременно. Это делает поперечные часы предпочтительными для введения теории относительности.

Чтобы показать это на длинном пути, мы представим себе два практически идентичных светоотражающих часа.$\mathbb{c}$и$\mathbb{C}$, где$\mathbb{c}$традиционные поперечные часы и$\mathbb{C}$выравнивается продольно. ³ В их рамке покоя$S$, каждые часы имеют длину$l = L$, а следовательно, и одинаковые периоды$p = 2l/c$и$P = 2L/c$. Затем мы рассматриваем поведение часов, наблюдаемое в системе отсчета.$S'$движущийся со скоростью$-v$по длине$\mathbb{C}$в отношении$S$.

Поперечный корпус

Анализ периода$p'$поперечных часов является традиционным: время, необходимое для совершения поездки (туда и обратно), равно

$$\begin{align} p' &= \frac{\sqrt{(2l)^2 + (vp')^2}}{c}\\ &= \sqrt{\left(\frac{2l}{c}\right)^2 + \left(\beta p'\right)^2} \\ &= p \sqrt{1 + \left( \beta \frac{p'}{p}\right)^2} \;, \end{align}$$ так что $$\begin{align} \left(\frac{p'}{p} \right)^2 &= 1 + \left(\beta \frac{p'}{p}\right)^2\\ \frac{p'}{p} &= \left(1 - \beta^2 \right)^{-1/2} \\ &= \gamma\;. \end{align}$$

Продольный корпус

Чтобы найти период$P'$продольных часов нам нужно немного больше разобраться. Прошедшее время$T_f$для движения вперед половина пути

$$T_f' = \frac{L' + v T_f'}{c} \;,$$ а для обратной половины пути время$T_b$требуется $$T_b' = \frac{L' - v T_b'}{c} \;.$$ После недолгих размышлений получим период в виде $$\begin{align} P' &= \frac{L'}{c(1 - \beta)} + \frac{L'}{c(1 + \beta)}\\ &= \frac{2L'}{c(1 - \beta^2)} . \end{align}$$ Сейчас если$L' = L$это приведет к $$\frac{P'}{P} = \left( 1 - \beta^2 \right)^{-1} = \gamma^2 \;, \tag{wrong!}$$ это означает, что часы не будут согласовываться, но, как мы уже говорили, стиль экспериментов Майкельсона-Морли исключает это, поэтому$L'$ не должно быть таким же, как$L$. Чтобы получить соглашение, которое мы должны иметь, требуется, чтобы $$\frac{L'}{L} = \left(1 - \beta^2 \right)^{1/2} \;,$$ обычное выражение для сокращения длины.

Лучший путь

Вся эта работа, откровенно говоря, неприятна, и я бы порекомендовал подход, основанный на геометрии, как лучшую альтернативу версии Эйнштейна. Возьмите книгу Такеучи, она стоит своих денег.

---

¹ Потому что это говорит нам о том, что двое часов, настроенных так, чтобы их концы передачи/приема совпадали, которые бьются в такт друг другу, будут по-прежнему бить в такт друг с другом, когда вы поворачиваете их. Это не означает, что все наблюдатели согласятся с частотой часов, просто эти часы совпадают.

² В конце концов, именно в этом заключается принцип сокращения Лоренца-Фицджеральда: приведение классической теории в соответствие с результатами Майкельсона-Морли.

³ Мы продолжим использовать строчные буквы для величин, относящихся к поперечным часам, и прописные буквы для величин, относящихся к продольным часам.

Рассмотрим 4 одинаково сконструированных световых часа различной ориентации, которые имеют одинаковое расстояние между зеркалами, когда они находятся в состоянии покоя. Для удобства расположим их по кругу, у каждого по одному зеркалу в общей точке. В системе покоя, если начальные сигналы излучаются центром в одно и то же событие, отражения от зеркал принимаются центром в то же событие.

Когда эти круглые световые часы приводят в равномерное движение, световые часы, ориентированные по-разному, испытывают сокращение длины... [круглые световые часы выглядят как эллипс в лабораторной рамке].. таким образом, что отражения все еще принимаются. центром в одном и том же событии... в соответствии с принципом относительности.

Вот кадр из моего видео https://www.youtube.com/watch?v=AXx3CB80rAk , чтобы мотивировать сокращение длины.

Вот кадр из моего видео ( https://www.youtube.com/watch?v=tIZeqRn7cmI ) анимированной пространственно-временной диаграммы тикающих круглых световых часов.

В этом видео ( https://www.youtube.com/watch?v=NqjAOyGR82s ) я применяю это, чтобы продемонстрировать Эффект Часов (связанный с Парадоксом Близнецов).

Некоторые дополнительные подробности доступны в моей статье:
«Визуализация собственного времени в специальной теории относительности»
, учитель физики (Индийское физическое общество), v46 (4), стр. 132-143 (октябрь-декабрь 2004 г.) https://arxiv.org/ абс/физика/0505134

Я бы решил эту проблему для любого произвольного угла наклона световых часов, чтобы показать, что замедление времени не зависит от ориентации световых часов. Если часы наклонены под углом$\theta^\prime$в системе покоя этот угол меняется на$\theta$с точки зрения лабораторного наблюдателя WRT, на котором движутся световые часы$v$так что мы имеем: [См. прилагаемый рисунок.]

$$\cos\theta'=\frac{x'}{L'}\space and \space \cos\theta=\frac{\alpha x'}{L} \tag{1&2}$$

Напомним, что$\alpha$является обратной величиной фактора Лоренца. Кроме того, у нас есть:

$$\tan\theta'=\frac{y'}{x'}\space and \space \tan\theta=\frac{y'}{\alpha x'} \tag{3&4}$$

уравнения (1 и 2) и уравнения. (3 и 4) соответственно подразумевают:

$$\frac{\cos\theta'}{\cos\theta}=\frac{L}{\alpha L'} \space and \space \frac{\tan\theta'}{\tan\theta}=\alpha \tag{5&6}$$

уравнения (5 и 6) выход:

$$\frac{L}{L'}=\frac{\alpha/\cos\theta}{\sqrt{1+\alpha^2\tan^2\theta}}=\frac{c\alpha}{\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}} \tag{7}$$

Теперь, используя закон косинусов для$\Delta ABC$, мы получаем:

$$c^2t_1^2=v^2t_1^2+L^2-2vt_1L\cos(\pi-\theta) \rightarrow$$

$$t_1=\frac{v\cos\theta+\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}L \tag{8}$$

используя закон косинусов для$\Delta BCD$, окончательно получаем:

$$c^2t_2^2=v^2t_2^2+L^2-2vt_2L\cos\theta \rightarrow$$

$$t_2=\frac{-v\cos\theta+\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}L \tag{9}$$

Для$t=t_1+t_2$, у нас есть:

$$t=\frac{2L\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}\tag{10}$$

Как известно, время, измеряемое наблюдателем в системе покоя световых часов, равно$t^\prime=2L'/c$, поэтому мы можем написать:

$$\frac{t}{t'}=\frac{c\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}\frac{L}{L'} \tag{11}$$

Подставляя уравнение (7) в уравнение (11), получаем:

$$\frac{t}{t'}=\frac{1}{\alpha} \tag{12}$$

Следовательно, замедление времени не зависит от ориентации световых часов.