Действительно ли свет движется медленнее вблизи массивного тела?

Простой способ показать, что скорость, полученная из координат Шварцшильда, не имеет абсолютного значения, состоит в том, чтобы вывести выражение для скорости, измеренной другим наблюдателем, и показать, что они расходятся. В частности, мы выберем оболочечного наблюдателя, т.е. наблюдателя, парящего в фиксированной точке.$r$,$\theta$и$\phi$(предположительно с использованием ракетного двигателя). Еще раз рассмотрим радиальный луч света.

Мы будем использовать$t’$и$r’$для времени и радиальных координат в системе отсчета оболочки, и$R$для радиального расстояния оболочечного наблюдателя, измеренного в координатах Шварцшильда.

В системе покоя оболочечного наблюдателя мы рассматриваем бесконечно малое собственное время$dt’$. Сравнивая это с метрикой Шварцшильда, мы находим в положении оболочечного наблюдателя:

$$dt’^2 = (1 - r_s/R)dt^2$$

давая нам:

$$\frac{dt’}{dt} = \sqrt{1 – r_s/R} \tag{2}$$

Самые зоркие среди вас заметят, что это просто хорошо известное выражение для гравитационного замедления времени на расстоянии.$R$. Аналогичный аргумент для бесконечно малого собственного расстояния$dr’$дает:

$$\frac{dr’}{dr} = \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \tag{3}$$

что является просто соответствующим уравнением для радиального растяжения. Используя уравнение (1) из вопроса и уравнения (2) и (3), мы можем теперь рассчитать скорость света в положении оболочечного наблюдателя, используя цепное правило:

$$\begin{align} \frac{dr’}{dt’} &= \frac{dr}{dt} \frac{dr’}{dr} \frac{dt}{dt’} \\ &= \pm c \left(1 - \frac{r_s}{R}\right) \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \\ &= \pm c \end{align}$$

И вот наш первый результат. Наблюдатель-оболочка измеряет скорость света в своем местоположении так, чтобы она была$c$, и это не зависит от$R$так что это верно для всех наблюдателей оболочки.

Я должен подчеркнуть, что в этой работе я не делал никаких предположений. Это чистая алгебра, не допускающая никаких уловок. Два наблюдателя действительно получают разные результаты для скорости света. Ни то, ни другое неверно - это просто показывает, что координатная скорость света зависит от наблюдателя, а не является абсолютной величиной.

Но мы можем сделать лучше, чем это. Мы можем расширить наш анализ, чтобы найти скорость света в координатах оболочки на радиальных расстояниях, больших и меньших, чем расстояние до оболочки. Аргумент по сути такой же, как и выше, поэтому я просто приведу результат:

$$\frac{dr’}{dt’} = \pm c \frac{1- r_s/r}{1 – r_s/R} \tag{4}$$

И это выглядит (для$R = 2r_s$):

Подобно наблюдателю Шварцшильда, наблюдатель в оболочке видит, что координатная скорость света падает, когда свет находится ближе к массивному объекту, чем они, но наблюдатель в оболочке видит, что свет движется быстрее, чем$c$когда свет находится дальше от объекта, чем они. Таким образом, оболочка и наблюдатель Шварцшильда нигде не согласны со скоростью света (кроме горизонта событий, если он существует), но они оба согласны с тем, что скорость света в их местоположении равна$c$.

И это делает точку. Наблюдатели-оболочки не являются какой-то теоретической фикцией - мы с вами являемся оболочечными наблюдателями в силу нашего постоянного расстояния от центра Земли и уравнение (4) дает скорость света, которую мы с вами наблюдали бы. Дело в том, что координатная скорость света зависит от наблюдателя и не имеет абсолютного значения.