Я понимаю, что мы можем доказать, что для любого процесса, происходящего в изолированной и замкнутой системе, должно выполняться условие
по теореме Клаузиуса . Мой вопрос в том, как я могу доказать это математическим способом?
В контексте квантовой механики энтропия системы, начальное состояние которой задается матрицей плотности дается так называемой энтропией фон Неймана ;
Прием автора. Меня всегда несколько беспокоил аргумент, который я вам только что привел, не потому, что я считаю его неверным, а скорее потому, что в свете вывода, который мы делаем из него относительно изолированных систем, почему люди не говорят, что более сильное утверждение для изолированных систем, в отличие от . Дело не в том, что это противоречивые утверждения; один просто сильнее другого, поэтому я думаю, что нужно просто утверждать, что сильнее в контексте изолированных систем.
Дополнение. В ответ на мое «признание» я должен отметить, что есть милый аргумент, который я видел в пользу неотрицательности изменения полной (фон-неймановской) энтропии изолированной системы при условии, что полная энтропия определена правильно. Вот.
Предположим, что у нас есть изолированная система, назовем ее Вселенной, описываемая гильбертовым пространством . Предположим, что эту систему можно разделить на две подсистемы и так что объединенное гильбертово пространство может быть записано . Если матрица плотности Вселенной , то матрицы плотности подсистем и определяются как частичные трассы над ;
Если системы и изначально некоррелированы, тогда полная энтропия никогда не будет ниже, чем в начальный момент времени.
Доказательство. Если системы изначально некоррелированы, то по определению оператор полной плотности в начальный момент времени есть тензорное произведение . Из взятия частичных следов и использования того факта, что оператор плотности является единичным следом, следует, что матрицы плотности подсистем и в начальный момент являются
Однако я всегда был несколько недоволен этим аргументом, потому что (i) он предполагает, что подсистемы изначально некоррелированы, и (ii) мне не ясно, что определение полной энтропии как суммы энтропий приведенной плотности операторы подсистем - это то, что мы должны называть когда мы пишем .
Кстати, этот аргумент был украден из лекций, которые я брал: квантовые конспекты лекций Эрика Д'Хокера .
Вот поучительный частный случай: возьмем тела с температурой и соединить их вместе, пока они не достигнут конечной температуры . Первый закон термодинамики говорит вам, что это среднее арифметическое . Второй закон термодинамики говорит вам, что изменение энтропии где является средним геометрическим. Это стандартная теорема чистой математики, что , откуда изменение энтропии должно быть положительным.
Я понимаю, что мы можем доказать, что для любого процесса, происходящего в изолированной и замкнутой системе, должно выполняться ΔS≥0 по теореме Клаузиуса. Мой вопрос в том, как я могу доказать это математическим способом?
Теорема Клаузиуса гласит, что когда в системе происходит общий циклический процесс, в ходе которого она соединяется с резервуаром (возможно, переменной) температуры , интеграл
Теперь предположим, что в нашей изолированной системе происходит какой-то необратимый процесс. . Такое изменение системы может произойти в результате изменения наложенных внутренних ограничений, например снятия стенки, разделяющей две перегородки сосуда, наполненного газом разного давления. Затем система термически соединяется с тепловым резервуаром и подвергается обратимому процессу. .
В ходе необратимого процесса , так как система изолирована, теплопередача отсутствует и соответствующий вклад в исчезает.
В ходе обратимого процесса , вообще тепло может передаваться. Интеграл таким образом
Изменение энтропии при переходе из состояния равновесия A в состояние равновесия B определяется как
что то же самое, что только с обратным знаком. С ,
КЭД.
Петр Кравчук
Ана Ш