Как быстро тепло передается теплопроводностью?

Уравнение теплопроводности для таких задач (предположим, 1D) выглядит следующим образом:

$$\frac{\partial T}{\partial t} = a \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$

Где конечно$T$температура,$t$время,$x$это положение и$a$температуропроводность:$a=\frac{\lambda}{\rho c_p}$(соответственно теплопроводность, плотность и теплоемкость. Это уравнение можно вывести из закона Фурье .

Предположим, у вас есть блок с температурой$T_0$который вы вводите в контакт с блоком температуры$T_1$в$x=0$. Тогда у вас есть набор граничных условий

$$T(x,0) = T_0 \\ T(0,t) = T_1 \\ T(x\to\infty,t)=T_0$$

Это непросто, но было выведено, что решением этого уравнения является

$$\frac{T-T_0}{T_1-T_0}=1-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\int_0^{\frac{x}{2\sqrt{at}}} e^{-s^2}ds$$ Где решение этого интеграла называется функцией ошибок

Это решение описывает переходный и пространственный профиль нагретого куска материала.

За короткое время нагревается только определенное количество материала. Используя функцию ошибок, можно определить глубину проникновения , которая равна$x_p=\sqrt{\pi a t}$, что, очевидно, является мерой того, насколько повышенная температура проникает в материал.

Предположим, ваш домен имеет конечную длину и изолирован на другом конце. Коэффициент теплопередачи от стены при$x=0$почти постоянна, а средняя температура блока будет сходиться с экспоненциальным спадом к граничной температуре (см. ответ Владимира). Это можно вывести из уравнения теплопроводности, предположив, что$\frac{T-T_0}{T_1-T_0}=1 - f(t) g(x/L)$

Примечание. Эта книга использовалась в качестве справочника для некоторых уравнений.

Можно легко оценить время достижения стационарного состояния. Если у вас есть слой определенной толщины и вы знаете тепловые свойства материала, то задача решена в любом учебнике по теплопроводности. Температура на другом конце меняется со временем, а финальная стадия очень проста (называется обычным режимом):$T(t)\approx T(\infty)+Ae^{-\lambda_0 t}$. Наименьшее собственное значение$\lambda_0$определяется толщиной слоя$L$, его теплопроводность$\kappa$, удельная теплоемкость$c$и плотность материала$\rho$.

$$\lambda_0 = \frac{\pi^2 \cdot\kappa}{4\rho \cdot c \cdot L^2}$$